A hierarquia das operações aritméticas e algébricas: a ordem correta das operações.

by Roberto M.

Qual é a ordem correta das operações matemáticas? 
O que se faz primeiro na resolução de uma expressão algébrica, a multiplicação ou a adição, a potenciação ou a divisão, a adição ou a subtração?

Em primeiro lugar, devemos saber que tudo o que iremos falar sobre a ordem em que as operações matemáticas devem ser executadas é uma convenção.

Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Soma e Multiplicação na mesma expressão

by Roberto M.

Nas aulas anteriores vimos como utilizar a adição e a subtração para isolar uma variável e balancear uma igualdade.

Vimos, também, como utilizar a multiplicação e a divisão para isolar uma variável.

Dando continuidade, hoje vamos falar de como isolar a variável quando temos todas as quatro operações misturadas na expressão.

Como exemplo usaremos o enigma a seguir:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

5x + 4 = 19

Que verbalizando ficaria: ” 5 x mais 4 é igual a 19 “

E que após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 3

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘5x + 4 = 19’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 3’

Isso parece complicado. Mas não é se resolvermos o problema em duas etapas.

Para isolar o 'x', primeiro vamos retirar o '+4' e em seguida retiramos o 'vezes 5'.

Vamos ao exemplo:

- Primeira Etapa: Retirada do '+4' (como feito em Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Adição e Subtração)

Quero remover o ’+4’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso subtraímos 4	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X + 4 = 19	5X + 4 = 19	5X + 4 = 19	5X +0 = 15	5X = 15
	-4             0	-4     -4             0     15

- Segunda Etapa: Retirada do 'vezes 5' (como feito em  PrimeirosPassos da Álgebra - Isolando a variável com Multiplicação e Divisão)

 

Quero remover o ’5’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Dividimos por 5	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X  = 15	5X = 15	5X = 15	1X = 3	X = 3
	:5         1	:5       :5        1        3

Com o tempo, vamos adquirindo experiência

Quando tivermos um pouco mais de experiência nos cálculos, podemos resolver da seguinte maneira: 

1 - Começamos com  ----------------------  5x + 4 = 19

2 - Subtraímos 4 dos dois lados   --------  5x + 4 - 4 = 19 - 4

3 - Simplificamos   -------------------------  5x = 15

4 - Dividimos por 5 dos dois lados   -----  5x / 5 = 15 / 5

5 - Simplificamos   -------------------------- x = 3 

Ou ainda mais rápido, fazendo assim:

1 - Começamos com  ----------------------  5x + 4 = 19

2 - Subtraímos 4 dos dois lados   --------  5x = 15

3 - Dividimos por 5 dos dois lados   -----  x = 15

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do  "="  devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula avançaremos um pouco na Álgebra falando sobre "A hierarquia das operações aritméticas e algébricas: a ordem correta das operações.". Acompanhem.

Artigos Recomendados:

• Multiplicação de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de vezes.
• Divisão Exata  de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de dividir.
• Adição de números naturais. Como montar e executar a operação. Fazendo uma conta de mais.
• Conta de Menos. Subtração de números naturais. Como armar e executar a operação de diminuir
• As Quatro Operações fundamentais da Aritmética e sua nomenclatura.

Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Multiplicação e Divisão

by Roberto M.

Com a álgebra, conseguimos resolver vários enigmas brincando com letras, números e símbolos.

Na aula anterior vimos como utilizar a adição e a subtração para isolar uma variável e balancear uma igualdade.

Dando continuidade, hoje vamos falar de como usar a multiplicação e a divisão para resolver problemas.

Como exemplo usaremos o enigma a seguir:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

🖂 x 5 = 15

Bem, a resposta é 3, não é mesmo? Isto porque 3 x 5 = 15. Essa também foi fácil.

Só que na álgebra, nós não usamos envelopes, nós usamos uma letra (normalmente o 'x' ou o 'y', mas pode ser qualquer uma). Então, escrevemos assim:

X x 5 = 15

Acontece que o X (variável) é muito parecido com o x (sinal de multiplicação). Isso pode gerar muita confusão.

Então, na álgebra, não usaremos o sinal de multiplicação (x) entre números e letras.

Daí, colocamos o número ao lado da letra para significar que estamos multiplicando, ficando assim:

5x = 15

Que verbalizando ficaria: ” 5 x é igual a 15 “

E após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 3

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘5x = 15’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 3’

Mas, ao invés de dizer ‘é óbvio que x=3’ vamos usar a seguinte abordagem passo a passo:

1- Devemos descobrir o que remover para isolar o ‘x’.

2- Depois, removemos fazendo o oposto (multiplicar é o oposto de dividir).

3- Fazemos isso de ambos os lados.

Vamos a um exemplo:

 

Quero remover o ’5’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Dividimos por 5	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X  = 15	5X = 15	5X = 15	1X = 3	X = 3
	:5       1	:5       :5      1        3

POR QUE FAZER A MESMA COISA DE AMBOS OS LADOS?

Para manter o equilíbrio.

5X = 15  

 está equilibrado (enigma inicial)

5X : 5 = 15

 desequilibrou o lado esquerdo porque dividimos por algo desse lado.

5X : 5 = 15 : 5

 equilibrou novamente ao dividirmos pela mesma coisa do outro lado.

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do  "="  devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula daremos continuidade a esse assunto com "Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Soma e Multiplicação na mesma expressão". Acompanhem.

Artigos Recomendados:

• Multiplicação de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de vezes.
• Divisão Exata  de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de dividir.
• Multiplicação e Potenciação de Números Decimais. Regras Práticas.
• Divisão de Números Decimais. Regra Prática
• As Quatro Operações fundamentais da Aritmética e sua nomenclatura.

Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Adição e Subtração

by Roberto M.

A álgebra pode ser muito divertida. Com ela conseguimos resolver vários enigmas brincando com letras, números e símbolos.

Conforme vamos desvendando alguns dos seus vários “truques”, nossas habilidades para resolver questões aumentam gradativamente.

Hoje vamos falar de um primeiro “truque”, o mais elementar, o “truque” de como usar a adição e a subtração para resolver problemas.

Como exemplo usaremos um enigma:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

🖂 - 4 = 6

Bem, a resposta é 10, não é mesmo? Isto porque 10 - 4 = 6. Essa foi fácil.

Só que na álgebra, nós não usamos envelopes, nós usamos uma letra (normalmente o 'x' ou o 'y', mas pode ser qualquer uma). Então, escrevemos assim:

X - 4 = 6

Na verdade, tudo é muito simples. A letra (nesse caso o 'x') significa exatamente o seguinte: “nós não sabemos o valor desse número ainda”. 

Essa letra, que representa o número desconhecido, frequentemente é chamada de variável.

E após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 10

POR QUE USAMOS UMA LETRA

Temos alguns motivos:

1- É muito mais fácil escrever ‘x’ do que desenhar um ‘envelope vazio’.

2- É muito mais fácil dizer ‘x’ do que dizer ‘envelope vazio’.

3- Se tivermos vários ‘envelopes vazios’ (diferentes variáveis), nós podemos usar diferentes letras para representar cada uma delas.

Logo, escrevermos ‘x’ é muito melhor do que termos ‘envelopes vazios’

E não precisa ser x, pode ser y ou w... ou qualquer letra ou símbolo que quisermos.

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘x - 4 = 6’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 10’

Mas, ao invés de dizer ‘é óbvio que x=10’ vamos usar a seguinte abordagem passo a passo:

1- Devemos descobrir o que remover para isolar o ‘x’.

2- Depois, removemos fazendo o oposto (adicionar é o oposto de subtrair).

3- Fazemos isso de ambos os lados.

Vamos a um exemplo:

 

Quero remover o ’-4’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Somamos 4	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
X - 4 = 6	X - 4 = 6	X - 4 = 6	X - 0 = 10	X = 10
	+4           0	+4   +4             0    10

POR QUE FAZER A MESMA COISA DE AMBOS OS LADOS?

Para manter o equilíbrio.

X - 4 = 6  

 está equilibrado (enigma inicial)

X - 4 +4 = 6

 desequilibrou o lado esquerdo porque acrescentamos algo desse lado.

X - 4 +4 = 6 +4

 equilibrou novamente ao acrescentarmos a mesma coisa do outro lado.

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do  "="  devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula daremos continuidade a esse assunto com "Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Multiplicação e Divisão". Acompanhem.

Artigos Recomendados:

• Adição de números naturais. Como montar e executar a operação. Fazendo uma conta de mais.
• Conta de Menos. Subtração de números naturais. Como armar e executar a operação de diminuir
• Adição e Subtração de números decimais.
• As Quatro Operações fundamentais da Aritmética e sua nomenclatura.

 

Valor Absoluto dos Números ou Módulo. Números Opostos ou Simétricos.

by Roberto M.

O que é valor absoluto de um número? O que é módulo de um número? O que são números opostos? O que são números simétricos?

Já estudamos os números naturais e também o Conjunto dos Números Inteiros. O conjunto Z.

Sendo assim, sabemos o conceito de números positivos e números negativos. Para relembrar, é só clicar nos links.

Divisibilidade por cinco. Quando um número é divisível por 5 (cinco)

by Roberto M.

Hoje falaremos sobre a divisibilidade por 5 (cinco). Quem tiver curiosidade poderá ver outros artigos onde já falamos sobre a "Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero.", sobre a  "Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um).". 

Já falamos também  sobre a "Divisibilidade por dois. Quais números são divisíveis por 2 (dois)." , sobre a "Divisibilidade por Três. Quando um número é divisível por 3 (três).¨ e sobre a “Divisibilidade por quatro. Quando um número é divisível por 4 (quatro)”.

O Número PHI. O número de Ouro. A proporção Áurea.

by Roberto M.

Existe um número na natureza que desde a antiguidade desperta a curiosidade e o fascínio de matemáticos e estudiosos. O número Phi (Fi).

Também chamado de proporção áurea, número de ouro e até de divina proporção, o número Phi é uma constante matemática irracional representado pela letra grega f (phi),

Seu valor é 1,618033988749…..

O Número  f (fi), o número de ouro,  é considerado por muitos uma constante que representa a perfeição.

Divisibilidade por quatro. Quando um número é divisível por 4 (quatro)

by Roberto M.

Em outros artigos já falamos sobre a "Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero.", sobre a  "Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um).",  sobre a "Divisibilidade por dois. Quais números são divisíveis por 2 (dois)." e também sobre a "Divisibilidade por Três. Quando um número é divisível por 3 (três).¨

Divisibilidade por Três. Quando um número é divisível por 3 (três).

by Roberto M.

Em artigos anteriores já falamos sobre a "Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero.", sobre a  "Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um)." e também sobre a "Divisibilidade por dois. Quais números são divisíveis por 2 (dois)."

No artigo  "Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente." falamos sobre algumas regrinhas práticas para descobrir a divisibilidade por alguns números entre zero e cinquenta.

O Número PI (π). História, Concepção e Casas decimais.

by Roberto M.

O número PI (π) é uma constante matemática que representa a relação entre o perímetro e o diâmetro de um círculo.

Seu Valor é igual a  3,14159265358979323846...

O número PI (π) é possivelmente a constante numérica mais estudada ao longo da história.

O PI (π) é um número irracional, um número irracional específico que possui grande significância no campo da Matemática.

Divisibilidade por dois. Quais números são divisíveis por 2 (dois).

by Roberto M.

No vídeo "Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero." e no vídeo "Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um)." ilustramos quais os números que são divisíveis por zero e por um.

No artigo  "Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente." mostrei algumas regrinhas práticas para descobrir a divisibilidade por alguns números entre zero e cinquenta.

Hoje vamos mostrar, em um filminho, quando um número é divisível por 2 (dois). 

Basta ser par, ou seja, terminar em 0, 2 , 4, 6 ou 8 para que o número seja divisível por 2 (dois).

Artigos Recomendados:

• Processo para extrair a Raiz Quadrada de um número na Raça.
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• Entendendo o que são Sistemas de Numeração.
• Como Funciona o Sistema de Numeração Decimal .
• Sistemas Numéricos Posicionais. Generalizando para qualquer Base.

Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um).

by Roberto M.

No artigo  "Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente." mostrei algumas regrinhas práticas para descobrir a divisibilidade por alguns números entre zero e cinquenta.

Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero.

by Roberto M.

Já fiz um artigo chamado: Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente., onde falo como descobrir se um número natural é divisível por outro número natural sem executar a conta de divisão.

Como descobrir a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica

by Roberto M.

Quando estudamos as Dízimas Periódicas, vimos que: 

Se obtivermos uma dízima periódica ao dividirmos o numerador pelo denominador de uma fração irredutível, dizemos que essa fração é a Geratriz da dízima.

Mas, se tivermos uma dízima periódica, como faremos para saber qual é a fração geratriz dessa dízima?

O Conjunto dos Números Irracionais. O Conjunto I.

by Roberto M.

Já tivemos, anteriormente, uma Introdução à Teoria dos Conjuntos. e também já nos vimos  Fazendo Operações com Conjuntos.

Já falamos sobre vários conjuntos numéricos. Hoje vamos falar sobre o Conjunto dos Números Irracionais.

Dentro do contexto de conjuntos numéricos, já tivemos oportunidade de falar sobre o Conjunto dos Números Naturais. O conjunto N. (qualquer número que resulte de uma contagem de unidades é chamado de número natural); sobre o Conjunto dos Números Inteiros. O conjunto Z. (onde obtivemos o conceito de números negativos) e sobre o O conjunto dos números Racionais. O conjunto Q. (todo número que pode ser expresso na forma de uma fração é chamado de número racional).

O que são Dízimas Não Periódicas.

by Roberto M.

Outro dia falamos sobre as Dízimas Periódicas, hoje falaremos sobre as Dízimas Não Periódicas.

Dízimas Não Periódicas são um tipo de decimal muito curioso. Eles possuem uma parte decimal que, além de ser infinita, não se repete periodicamente.

Uma Dízima Não Periódica é um tipo de número que tem infinitas casas depois da vírgula, mas esses algarismos depois da vírgula não se repetem em um padrão⁢ regular, diferentemente das dízimas periódicas, que têm um padrão onde um ‌grupo de algarismos ​se‍ repetem indefinidamente.

O que são Dízimas periódicas. Geratriz e Período de uma dízima.

by Roberto M.

Hoje vamos falar sobre Dízimas periódicas, mas antes vamos relembrar algumas coisas importantes.

Quando estudamos o “O conjunto dos números Racionais. O conjunto Q. “, vimos que todo número que pode ser expresso na forma de uma fração é chamado de número racional.

Já estudamos, também, várias coisas sobre frações, tais como: “Frações e Números fracionários. Introduzindo o conceito” ou “Frações Equivalentes. Números que representam uma mesma quantidade”, ou ainda, “Como Fazer Simplificação de Frações. A forma irredutível de uma fração.”

Divisão de Números Decimais. Regra Prática

by Roberto M.

Já vimos, anteriormente, muitas coisas sobre divisão.

Já aprendemos sobre “Divisor e Divisibilidade nos números naturais. “ , sobre “Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente. “, sobre “Divisão de Frações. Como fazer para dividir dois números fracionários. “ ou sobre “Regra prática para obter o Conjunto dos Divisores de um número natural.”

Hoje vamos falar sobre a divisão de dois números decimais, ou seja, vamos aprender regras práticas para dividir dois números com vírgulas.

Divisão Exata de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de dividir.

by Roberto M.

Já sabemos o que é o “Conjunto dos Números Naturais” e já aprendemos  somar números naturais ,  subtrair números naturais e, também,  fazer a Multiplicação de Números Naturais.

Hoje vamos falar sobre a divisão de números naturais: o que é uma divisão e como executá-la. 

Vamos ver o procedimento para fazer uma conta de “dividir”.

Multiplicação e Potenciação de Números Decimais. Regras Práticas.

by Roberto M.

Em outros artigos, já vimos como fazer “Multiplicação de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de vezes.” e também já falamos sobre a “Potenciação ou Exponenciação. “, bem como da “Multiplicação de Frações. Como fazer para multiplicar números fracionários. “

Hoje vamos falar sobre como fazer conta “de vezes” com números decimais, ou seja, aqueles que possuem vírgula.

Vamos mostrar, também, como elevar um número decimal a um expoente natural.