quarta-feira, 27 de maio de 2015

Introdução à Teoria dos Conjuntos

Noções teóricas sobre conjuntos, subconjuntos e elementos de um conjunto. Símbolos e Nomenclatura. Relações de pertinência e inclusão.

Conjuntos e subconjuntos. Elementos. Pertinência e Inclusão.
by Roberto M.
A noção de conjunto é uma das noções básicas da Matemática Moderna, ou seja, é um dos conceitos adotados como ponto de partida e que serve de base para a definição de outros conceitos que serão introduzidos no desenvolvimento da teoria.
As ideias essenciais da teoria dos conjuntos foram introduzidas pelo matemático Georg Cantor, na parte final do Século XIX.

A partir daí, a teoria dos conjuntos desenvolveu-se intensamente, de tal forma que hoje pode se dizer que todos os ramos da Matemática foram profundamente influenciados por essa teoria.
Intuitivamente, um conjunto é encarado como uma coleção de objetos de natureza qualquer, os quais se dizem elementos do conjunto.

a) Conjunto, Elemento. Relação de Pertinência

- Conjunto: coleção ou grupo de objetos.
- Elemento: cada objeto que constitui o conjunto.
- Conjunto unitário: é o conjunto que possui apenas um elemento.
- Conjunto vazio: é o conjunto que não possui nenhum elemento
- Pertinência, significa dizer que cada elemento de um determinado conjunto, pertence a esse conjunto.
- Entre elemento e conjunto existe a relação de pertinência.

Exemplos:
1 - conjunto das cores da bandeira brasileira
    Elementos: verde, amarelo, azul, branco.

2 - conjunto das vogais do alfabeto
     Elementos: a, e, i, o, u.

3 - conjunto dos algarismos arábicos
     Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9

4 - conjunto dos nomes dos meses com menos de 30 dias
     Elemento: fevereiro (só tem um elemento, logo é um conjunto unitário).

5 - conjunto dos nomes dos meses com mais de 35 dias
     Não tem nenhum elemento, logo é um conjunto vazio.

b) Subconjuntos. Relação de Inclusão

-Podemos dizer que subconjuntos são as partes de um determinado conjunto.
-Todas as combinações possíveis entre os elementos de um determinado conjunto são subconjuntos desse conjunto.
-Os elementos dos subconjuntos também são elementos do conjunto.
-O conjunto vazio, sempre é subconjunto de qualquer conjunto.
-O próprio conjunto, sempre é subconjunto dele mesmo.
-Todos os subconjuntos de um certo conjunto estão contidos nesse conjunto.
-Inclusão significa dizer que um conjunto está contido em outro conjunto.
-Entre conjuntos existe a relação de inclusão.

Exemplo:
1 - Conjunto A= {1, 2, 3}

2 - Subconjuntos de A:
B= {1}; C= {2}; D= {3}; E= {1, 2}; F= {1, 3}; G= {2, 3}; H= {1, 2, 3}; I= {}

c) Nomenclatura e Representação

Para dar nome a um conjunto, normalmente, usamos uma letra maiúscula do alfabeto.
Para descrever os elementos de um conjunto, normalmente os colocamos entre chaves, separados por vírgulas.
O lógico inglês JOHN VENN idealizou uma outra forma para demonstrar os conjuntos: os famosos diagramas de Venn.
Quando descrevemos os elementos de um conjunto através de diagramas, os elementos de um conjunto são colocados dentro de uma linha fechada.
A representação de um conjunto vazio é  {} ou Ǿ

Exemplos:
1 – conjunto das vogais do alfabeto
A = {a, e, i, o, u}.


A =Diagrama de Venn representando o conjunto das letras do alfabeto

2 – conjunto dos algarismos do número 4689
B = {4, 6, 8, 9}


B =Diagrama de Venn representando o conjunto dos algarismos do número 4689


3 – conjunto dos nomes dos meses com menos de 30 dias 
C= {fevereiro} 


C=Diagrama de Venn representando um conjunto unitário cujo único elemento é fevereiro


4 – conjunto dos nomes das esposas do Papa Pio XII
D= {} ou Ǿ


D= Diagrama de Venn representando um conjunto vazio


d) Simbologia

-Utilizamos o símbolo para indicar que um certo elemento pertence a um determinado conjunto.
-Utilizamos o símbolo para indicar que um certo elemento não pertence a um determinado conjunto.

-Usamos o símbolo para indicar que um subconjunto está contido em um determinado conjunto.
-Usamos o símbolo para indicar que um conjunto contém um determinado subconjunto.

-Usamos os símbolos e para indicar não está contido e não contém respectivamente.

Exemplos:
1 - Dado o conjunto das vogais do alfabeto: A= {a, e, i, o, u}
Podemos dizer que:
a ∈ A; e ∈ A; i ∈ A; o ∈ A; u ∈ A;
b ∉ A; c ∉ A;

2 - Tomando-se o conjunto A= {1, 2, 3}; 
e seus respectivos subconjuntos
B= {1}; C= {2}; D= {3}; E= {1, 2}; F= {1, 3}; G= {2, 3}; H= {1, 2, 3}; I= {}

Podemos dizer que:
B⊂A; C⊂A; D⊂A; I⊂A.
A⊃B; A⊃D; A⊃E; A⊃I.

e) Observações sobre as relações

Entre conjuntos existe a relação de inclusão. Entre elemento e conjunto existe a relação de pertinência.
Está errada a relação de pertinência entre conjuntos. Está errada a relação de inclusão entre elemento e conjunto.

Um conjunto somente contém ou está contido em outro conjunto. Um conjunto não pertence a outro conjunto.
Um elemento somente pertence ou não pertence a um determinado conjunto. Um elemento não está contido em um conjunto.

No próximo artigo falaremos sobre as “Operações com Conjuntos”. Acompanhem.

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