terça-feira, 10 de maio de 2011

Sistemas Numéricos Posicionais. Generalizando para qualquer Base.

Conheça a representação generalizada de um número qualquer, numa base genérica de um sistema de numeração posicional.

Generalização dos sistemas numéricos posicionais.
by Roberto M.
No artigo Entendendo o que são Sistemas de Numeração. vimos que, nos sistemas de numeração posicionais, o valor representado pelo algarismo depende da posição em que ele aparece na representação do númeroVimos também que a base de um sistema de numeração posicional é a quantidade de algarismos disponível na representação. 
A mais usualmente empregada é a base 10, mas existem outras.

A linguagem de computadores utiliza a base 2 (sistema binário) e na computação também são usadas base 8 (sistema octal) e base 16 (sistema hexadecimal).

Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação de um número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na base 2, apenas 2 algarismos: 0 e 1. Na base 16, 16 algarismos: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades.

Teoricamente, podemos ter sistemas de numeração posicionais com qualquer quantidade de algarismos, ou seja, em qualquer base.
Generalizando: uma base b qualquer disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1).

No artigo Como Funciona o Sistema de Numeração Decimal. vimos o principio de funcionamento do sistema numérico decimal (base 10), onde por exemplo, a representação do número 236,47 significa: 2x102 + 3x101 + 6x100 + 4x10-1 + 7x10-2.

Este princípio aplicado ao sistema de numeração decimal é válido para qualquer sistema de numeração.

Por analogia, se, no sistema decimal, para obter o valor do número, multiplicamos os algarismos por potências de 10, no sistema binário (base 2) fazemos esta mesma operação, só que baseada em potências de 2, ou seja: 20, 21, 22, 23, 24 e assim por diante.

Se o sistema de numeração for o Octal (base 8), multiplica-se por potências de 8: 8º, 81, 82,...

Se o sistema for o Hexadecimal (base 16), multiplica-se por potências de 16, (a letra A equivale a 10, já que não tem sentido multiplicar por uma letra, a letra B equivale a 11 e assim por diante): 160, 161, 162,...

Generalizando, representamos um número N qualquer, numa dada base b, como segue:

Nb = an bn + an-1bn-1 +... + a2b2 + a1b1 + a0b0 + a-1b-1 + a-2b-2 +.... + a-nb-n
 
Sendo que,

anbn +... + a2b2 + a1b1 + a0b0 é a parte inteira e
a-1b-1 + a-2b-2 ++... + a-nb-n é a parte fracionária.
 
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