sexta-feira, 8 de janeiro de 2016

O conjunto dos números Racionais. O conjunto Q.

Todo número que pode ser expresso na forma de uma fração é chamado de número racional. Entenda o conceito do conjunto dos números racionais.

Representação estilizada do conjunto dos números racionais
by Roberto M.
No início, quando conhecíamos somente os números naturais, não conseguíamos subtrair um número maior de um número menor. 
Se só existissem os números naturais não poderíamos subtrair “à vontade”. 
Veio daí a necessidade de se criar o conjunto dos números inteiros.

Agora, se só existissem os números inteiros poderíamos afirmar, com certeza, que as somas ou subtrações de números inteiros quaisquer seriam, também, números inteiros. Do mesmo modo poderíamos afirmar que a multiplicação de dois números inteiros seria, também, um número inteiro.
Entretanto, não poderíamos fazer a mesma afirmação no caso da divisão de dois números inteiros.

No conjunto dos números inteiros não se pode dividir “à vontade”.
Assim,por exemplo,

10 : 2 = 10/2 = 5 ,  é um número inteiro.

Mas,

2 : 10 = 2/10 não dá como resultado um número inteiro.

Dessa impossibilidade, surge a necessidade de uma nova criação: o conceito do número racional.

NÚMERO RACIONAL

Os números racionais surgiram da necessidade de se representar as partes de um inteiro.
Define-se número racional como todo aquele que pode ser expresso na forma de uma fração, ou seja:

Número Racional é todo número que pode ser expresso na forma a/b, onde a e b são números inteiros, com b ≠ 0.

Um número racional é assim chamado porque a palavra racional deriva da palavra razão, que por sua vez significa o quociente ou divisão de dois números inteiros.

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q.
Assim, podemos dizer:
Q = {a/b | a Î Z e b Î Z*}

CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES

1 – O conjunto dos números racionais (Q) é fechado para as quatro operações fundamentais, ou seja:
Se R e S são dois números racionais, então:

R + S ; R – S ; R x S e R/S (com S≠0) também são números racionais.

2 – No conjunto dos números racionais não existe o conceito de sucessor e antecessor, pois esse conjunto é denso, ou seja:
Sendo R e S dois números racionais quaisquer e sendo 


R < S

sempre existirá um número racional X tal que: 


R < X < S

3 – Sendo R e S números racionais, temos que:

R x S = 0 

se, e somente se

R = 0 ou S = 0

4 – Pertencem ao conjunto Q todos os números que podem ser escritos na forma de fração, com numerador inteiro e denominador inteiro não-nulo, a saber:

A – Os números inteiros
Exemplos:
5 = 5/1 ou 10/2
-5 = -5/1 ou 10/-2

B – Os decimais exatos
Exemplos:
0,2 = 2/10
0,25 = 25/100

C – Os decimais periódicos (dízimas periódicas)
Exemplos:
0,333..... = 1/3
0,3131... = 31/99
0,222..... = 2/9


5 - Todo número inteiro é um número racional, portanto, o conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto do conjunto dos números racionais (Q). 
Por sua vez, como todo número natural é um número inteiro, o conjunto dos números naturais (N), que é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, também é um subconjunto do conjunto dos números racionais.

O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros são subconjuntos do conjunto de números racionais



REPRESENTAÇÃO DE ALGUNS SUBCONJUNTOS DE Q


Q* = conjunto dos números racionais com ausência do zero.
Q+ = engloba somente os números racionais não negativos (inclusive o zero).
Q = engloba somente os números racionais não positivos (inclusive o zero).
Q*+ = engloba somente os números racionais positivos (com ausência do zero).
Q*– = engloba somente os números racionais negativos (com ausência do zero).



CONCLUSÃO

A representação decimal de um número racional é, NECESSARIAMENTE, ou exata, ou infinita e periódica.
As dízimas não periódicas não são números racionais, pois não conseguimos representá-las por frações.


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