domingo, 31 de maio de 2015

Fazendo Operações com Conjuntos

Interseção, União e Diferença entre dois conjuntos. Conjuntos disjuntos e conjuntos complementares. Igualdade entre conjuntos.

Representação de algumas operações. Interseção, união, igualdade, pertinência, inclusão.
by Roberto M.
No artigo “Introdução à Teoria dos Conjuntos” tivemos uma noção geral sobre os principais conceitos da teoria dos conjuntos.
Lá vimos o que é conjunto, o que é subconjunto e o que é elemento de um conjunto. Vimos, também, como se nomeia e como se representa um conjunto, além de mostrar alguns símbolos e falar sobre as relações de pertinência e de inclusão existentes entre conjuntos e seus elementos.

Hoje, vamos complementar aquele artigo. Daremos mais alguns conceitos e falaremos sobre as principais operações que podemos executar com conjuntos.

FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO

As principais formas de representação de um conjunto são:

1 - por extenso:
       A = {1, 3, 5, 7, 9};

2 - por descrição:
       A = {x | x é um número ímpar de um só algarismo};

3 - por diagrama de Venn-Euler:

        A =Diagrama de Venn-Euler representando um conjunto

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO

Como já vimos, conjunto é uma coleção de objetos de qualquer natureza, ou seja, é um agrupamento de elementos com características pré-definidas.
Desse modo, poderemos ter conjuntos:

1- Com um número finito de elementos (conjunto finito), como o conjunto A mostrado no exemplo acima,

2- Ou formados por infinitos elementos (conjunto infinito), como qualquer conjunto numérico (conjunto dos números inteiros, conjunto dos números reais, etc.).

3- Além disso, poderemos ter um conjunto unitário, quando possuir apenas um elemento:

      B = {fevereiro}

      B = {x | x é mês com menos de 30 dias}

      B = diagrama de Venn representando um conjunto unitário

4- Ou um conjunto vazio, caso não exista nenhum elemento que preencha a característica procurada:

      C = {x | x é par e ímpar}

      C = {} ou Ǿ

5- Como nomenclatura, devemos lembrar, ainda, do conjunto universo; aquele que deve conter todas as soluções possíveis nas resoluções de problemas e equações.

IGUALDADE ENTRE DOIS CONJUNTOS

-Dois conjuntos A e B são iguais se possuírem os mesmos elementos.
-Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando A está contido em B e também B está contido em A; ou seja:
                                       A=B é o mesmo que A⊂B e B⊂A.
-Dizemos que dois conjuntos A e B são diferentes quando existir algum elemento que é de um e não é do outro e indicamos
                                                      A≠B.

Exemplo:
1 - Sejam os conjuntos: A= {1, 2, 3}; B= {4, 5, 6}; C= {3, 1, 2}
Podemos dizer que:

A=C

A≠B; B≠C

Diagrama representando a igualdade e a desigualdade de conjuntos


REUNIÃO OU UNIÃO DE CONJUNTOS

-Reunião ou União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos de A e por todos os elementos de B e somente por eles.
- Usamos o símbolo para indicar reunião entre dois conjuntos

Exemplo:
1 - Sejam os conjuntos A= {1, 2, 3}; B= {4, 5, 6}; C= {3, 1, 2}; D= {1, 2}
Então teremos:
A⋃B= {1, 2, 3, 4, 5, 6};
B⋃C= {1, 2, 3, 4, 5, 6};
A⋃C= {1, 2, 3};
A⋃D= {1, 2, 3}

Diagrama representando a união ou reunião de dois conjuntos


INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS

- Intersecção ou Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado com os elementos que estão simultaneamente nos dois conjuntos A e B.
- Usamos o símbolo para indicar intersecção entre dois conjuntos.

Diagrama representando a intersecção de dois conjuntos


Exemplo:
1 - Sejam os conjuntos A= {1, 2, 3}; B= {4, 5, 6}; C= {3, 1, 2}; D= {1, 2}
Então teremos:
A⋂C= {1, 2, 3};
A⋂D= {1, 2}

CONJUNTOS DISJUNTOS

-Conjuntos disjuntos são aqueles que não têm nenhum elemento em comum, ou seja, sua interseção é o conjunto vazio.

Exemplo:
1 - Sejam os conjuntos A= {1, 2, 3}; B= {4, 5, 6}
Então teremos:
A⋂B= {} ou Ǿ;

DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS

- Diferença entre dois conjuntos A e B (A – B) é o conjunto formado pelos elementos exclusivos do conjunto A, ou seja, retira-se de A os elementos que são comuns com B.
- A representação da diferença entre A e B é: A – B

- Note que A - B é diferente de B – A
- A diferença entre B e A (B – A) é o conjunto formado pelos elementos exclusivos de B, ou seja, retiram-se de B os elementos comuns com A

Exemplo:
1 – Sejam os conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6};
A diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos exclusivos de A, isto é, retira-se de A o que for comum com B.
A – B = {0, 1}

A diferença entre B e A é o conjunto formado pelos elementos exclusivos de B, isto é, retira-se de B o que for comum com A. 
B – A = {5, 6}

CONJUNTOS COMPLEMENTARES

- Conjunto complementar é uma modalidade de diferença de conjuntos, que ocorre quando um conjunto está contido em outro.
- Complementar de um conjunto B em relação a um conjunto A (se B⊂A) é o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

- Usamos um traço sobre o nome do conjunto para indicar complementarAssim, dados os conjuntos A e B, com B⊂A teremos que B é o complementar de B em A.

Exemplo:
1 - Sejam os conjuntos: A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}; B= {1, 2, 3, 4, 5}
Então teremos:

B = {6, 7, 8, 9, 0}  

No próximo artigo falarei sobre “O Produto Cartesiano de Conjuntos”, uma outra operação que se faz com conjuntos, não sem antes falar sobre "O Plano Cartesiano e os Pares ordenados.". Acompanhem.

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