quinta-feira, 5 de maio de 2011

Como Funciona o Sistema de Numeração Decimal.

O sistema de Numeração Decimal é um sistema base 10. Baseia-se em dez símbolos que chamamos algarismos. É um sistema posicional, ou seja, dependendo da posição, o algarismo tem um valor diferente dentro do número. Conheça como funciona a numeração decimal com suas classes e ordens.

Sistema de Numeração Decimal. Entenda como funciona.
by Roberto M.
Os números que usamos normalmente no nosso dia-a-dia são baseados no sistema de numeração decimal.
Como vimos no artigo “Entendendo o que são Sistemas de Numeração”,  o sistema numérico decimal baseia-se em dez símbolos diferentes e é exatamente por isso que se chama decimal. Por isso também, é um sistema de base 10 onde contamos os elementos (unidades) em grupos de dez. Os símbolos que usamos para compor os números do sistema decimal são os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Todos os números desse sistema são escritos usando-se uma combinação desses dez algarismos e utilizando-se determinadas regras:

1-) Quando temos menos de dez unidades, representamos o número por um só algarismo.
Exemplo: 6 = seis unidades = seis.

2-) Quando temos mais de nove unidades e menos de cem, representamos o número por dois algarismos: o primeiro (à esquerda) indica quantas são as dezenas e o segundo (à direita) indica quantas são as unidades simples.
Exemplo: 66 = 6 dezenas e 6 unidades = sessenta e seis..

3-) Quando temos mais de noventa e nove unidades e menos de mil, representamos por três algarismos: o primeiro é o das centenas, o segundo é o das dezenas e o terceiro é o das unidades simples.
Exemplo: 666 = 6 centenas, 6 dezenas e 6 unidades = seiscentos e sessenta e seis.

O sistema decimal é um sistema de numeração posicional, ou seja, dependendo de sua posição no número, o algarismo tem um valor diferente.
Dizemos que cada algarismo ocupa uma ordem (ou casa) no numeral.

Sistema de Numeração Decimal. O algarismo tem um valor diferente dependendo da posição.

4-) A partir de mil unidades, os números são indicados por quatro ou mais algarismos.
Neste caso, os algarismos serão separados, da direita para a esquerda, em classes de três ordens:

Classes e ordens da numeração decimal.

Depois da classe dos milhões vem a dos bilhões, depois a dos trilhões, a dos quatrilhões, a dos quintilhões, e assim por diante.
Cada classe tem três ordens: a das centenas, a das dezenas e a das unidades.

Tudo isso significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número, altera seu valor de uma potência de 10 (base 10) para cada casa à esquerda.
O valor deste número é formado, multiplicando-se cada algarismo do número, da direita para a esquerda, por potências de 10, começando com 10º.
O último algarismo (bem à direita) é multiplicado por 10º, o penúltimo por 101, o próximo por 102 e assim por diante. o valor real do número é a soma destas multiplicações.
Observe o esquema a seguir que será bem mais fácil de entender: 

Número
6
6
6
6
Multiplicador
103
102
101
100
Resultado
6000
600
60
6

Portanto 6000 + 600 + 60 + 6 = 6666.
Logo o número 6666 significa exatamente: 6 milhares (6 x 103) + 6 Centenas (6 x 102) + 6 dezenas (6 x 101) + 6 unidades (6 x 100)

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6 comentários:

  1. Creio que tu equivocaste quando afirmou que "o sistema numérico decimal baseia-se em dez símbolos diferentes e é EXATAMENTE por isso que se chama decimal." Não é o fato de um sistema usar 10 símbolos diferentes que o torna um sistema decimal, mas sim o fato de que ele utiliza-se da base 10, por exemplo: quando eu falo uma dúzia, estou trabalhando com um sistema duodecimal, mas que possui apenas 10 símbolos diferentes.
    Fora isso o texto está muito bom, parabéns.

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    Respostas
    1. Meu caro Anônimo, (ou anônima, não sei)
      Não me equivoquei não, acho que o equívoco é seu.
      Acho que você confundiu numeração numa base qualquer com a conversão de uma quantidade nessa base para a base decimal.
      Um sistema não é base 12 (duodecimal) simplesmente porque contamos de 12 em 12.
      Se fizermos isso, utilizando-nos apenas dos dez símbolos da base decimal, estaremos utilizando a base decimal para contar de 12 em 12.
      Você está enganado quando diz que o sistema duodecimal possui apenas 10 símbolos.
      Aliás, ele se chama duodecimal, “exatamente”, porque tem 12 símbolos diferentes.
      É sim pelo fato de usar 10 símbolos que o sistema é base 10 (decimal); é pelo fato de usar 12 símbolos que é base 12 (duodecimal); é pelo fato de usar 16 símbolos que é base 16 (hexadecimal); é pelo fato de usar 2 símbolos que é base 2 (binário) e assim por diante.
      O sistema numérico decimal chama-se decimal porque usa 10 símbolos diferentes que são os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e por isso é base 10.
      O sistema duodecimal (para citar o seu exemplo) é duodecimal porque usa 12 símbolos diferentes que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B e por isso é base 12.
      O sistema hexadecimal chama-se hexadecimal por usar 16 símbolos diferentes que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. e por isso é base 16.
      Por exemplo, vou escrever de zero a vinte na base decimal, utilizando-me dos dez símbolos dessa base:
      0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
      Agora vou escrever as mesmas quantidades na base 12, utilizando-me dos doze símbolos dessa base:
      0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
      Isso significa o seguinte:
      - Se eu pegar uma dúzia de laranjas e quiser expressar essa quantidade na base 10, escreverei 12 laranjas.
      - Se eu pegar essa mesma quantidade de laranjas e quiser expressar na base 12, terei de escrever 10 laranjas.
      - 18 laranjas na base 12 é a mesma coisa que 20 laranjas na base 10.
      - 16 laranjas na base 12 é a mesma coisa que 18 laranjas na base 10.
      As quantidades serão as mesmas, mas as representações dessas quantidades serão diferentes.
      Não confunda número em uma base qualquer, com esse mesmo número convertido para a base decimal.
      Para entender tudo isso melhor, leia meus outros artigos:
      Entendendo o que são Sistemas de Numeração
      e
      Sistemas Numéricos Posicionais. Generalizando para qualquer Base

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  2. Roberto, muito obrigado pela sua correção. Eu não havia estudado ainda conversão de bases, então eu sempre via outras bases, como a duodecimal, representadas na base decimal, isso levava-me a pensar que essas bases continham apenas os dez símbolos da base decimal...
    Enfim obrigado pela explicação e desculpe pelo meu equivoco.

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  3. Só para confirmar o pensamento se eu fosse escrever 10 laranjas na base 8 utilizando os 8 símbolos dessa base eu escreveria 12 laranjas e se eu fosse escrever as 25 laranjas na base 12 eu escreveria 21 laranjas.

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  4. Olá Lucas,
    É exatamente isso.

    Contemos de 0 a 10 na base 8:

    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12

    10 laranjas na base decimal = 12 laranjas na base octal

    Agora vamos contar de 0 a 25 na base 12:

    0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 20, 21

    25 laranjas na base decimal = 21 laranjas na base duodecimal

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