Introdução à Álgebra - Adição e Subtração

by Roberto M.

A álgebra pode ser muito divertida. Com ela conseguimos resolver vários enigmas brincando com letras, números e símbolos.

Conforme vamos desvendando alguns dos seus vários “truques”, nossas habilidades para resolver questões aumentam gradativamente.

Hoje vamos falar de um primeiro “truque”, o mais elementar, o “truque” de como usar a adição e a subtração para resolver problemas.

Como exemplo usaremos um enigma:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

🖂 - 4 = 6

Bem, a resposta é 10, não é mesmo? Isto porque 10 - 4 = 6. Essa foi fácil.

Só que na álgebra, nós não usamos envelopes, nós usamos uma letra (normalmente o 'x' ou o 'y', mas pode ser qualquer uma). Então, escrevemos assim:

X - 4 = 6

Na verdade, tudo é muito simples. A letra (nesse caso o 'x') significa exatamente o seguinte: “nós não sabemos o valor desse número ainda”. 

Essa letra, que representa o número desconhecido, frequentemente é chamada de variável.

E após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 10

POR QUE USAMOS UMA LETRA

Temos alguns motivos:

1- É muito mais fácil escrever ‘x’ do que desenhar um ‘envelope vazio’.

2- É muito mais fácil dizer ‘x’ do que dizer ‘envelope vazio’.

3- Se tivermos vários ‘envelopes vazios’ (diferentes variáveis), nós podemos usar diferentes letras para representar cada uma delas.

Logo, escrevermos ‘x’ é muito melhor do que termos ‘envelopes vazios’

E não precisa ser x, pode ser y ou w... ou qualquer letra ou símbolo que quisermos.

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘x - 4 = 6’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 10’

Mas, ao invés de dizer ‘é óbvio que x=10’ vamos usar a seguinte abordagem passo a passo:

1- Devemos descobrir o que remover para isolar o ‘x’.

2- Depois, removemos fazendo o oposto (adicionar é o oposto de subtrair).

3- Fazemos isso de ambos os lados.

Vamos a um exemplo:

 

Quero remover o ’-4’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Somamos 4	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
X - 4 = 6	X - 4 = 6	X - 4 = 6	X - 0 = 10	X = 10
	+4           0	+4   +4             0    10

POR QUE FAZER A MESMA COISA DE AMBOS OS LADOS?

Para manter o equilíbrio.

X - 4 = 6  

 está equilibrado (enigma inicial)

X - 4 +4 = 6

 desequilibrou o lado esquerdo porque acrescentamos algo desse lado.

X - 4 +4 = 6 +4

 equilibrou novamente ao acrescentarmos a mesma coisa do outro lado.

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do  "="  devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula daremos continuidade a esse assunto com "Introdução à Álgebra -  Multiplicação e Divisão". Acompanhem.

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Sendo assim, sabemos o conceito de números positivos e números negativos. Para relembrar, é só clicar nos links.

Cálculo da Área Circular Sombreada. Duas circunferências tangentes a um quadrado.

by Roberto M.

PROBLEMA

Considere dois círculos tangentes entre si e tangentes ao quadrado como mostrado na figura a seguir.

Sabendo que o quadrado tem lado de 2 cm,  Determine a área circular sombreada.

Vamos fazer um passo a passo da resolução desse problema, mas pense um pouco nele, tente resolve-lo antes de ver a solução.

RESOLUÇÃO

1 - Como a circunferência maior tangencia o quadrado de lado igual a 2, podemos dizer que seu raio é igual a 1.

Como não sabemos o valor do raio da circunferência menor, vamos chama-lo de raio R.

2 - Agora, vamos tentar descobrir o valor do raio R, para conseguirmos, depois, calcular a área sombreada, que na verdade é a área do círculo de raio R.

Para facilitar nosso raciocínio, vamos traçar 3 retas.

2.1 - A primeira reta será paralela ao lado superior do quadrado passando pelo ponto B (centro da circunferência menor).

2.2 - A segunda reta será paralela ao lado lateral do quadrado passando pelo ponto A (centro da circunferência maior) e definirá juntamente com a reta anterior o ponto C (intersecção das duas retas)

2.3 - A terceira reta passará pelos pontos A e B (centro das duas circunferências)

3 - Como podemos notar, com essa construção formamos um triângulo ABC (triângulo retângulo em C)

Vamos ver se conseguimos descobrir o valor dos lados desse triângulo. 

Para isso, vamos marcar os valores dos raios no desenho (R para o raio menor e 1 para o raio maior) e vamos analisar a figura.

Analisando a figura, descobrimos que:

BC = 1 - R

AC = 1 - R

AB = 1 + R

4 - Podemos muito bem usar o Teorema de Pitágoras nesse Triângulo Retângulo ABC

Teorema de Pitágoras => cateto² + cateto² =  hipotenusa²

Como vimos, temos: 

Cateto AC = 1 - R

Cateto BC = 1 - R

Hipotenusa AB = 1 + R

Logo:

(1 - R)² + (1 - R)² = (1 + R)²

5 - Vamos manejar essa equação para chegar em algo que consigamos calcular:

6 - Equação de segundo grau é uma equação que sabemos resolver. Lembrem-se da Fórmula de Báskara.

7 - Obtido o raio R, podemos agora calcular a área sombreada, que nada mais é do que o círculo de raio R

CONHEÇA A VERSÃO EM VÍDEO DESSA POSTAGEM

Essa é a versão em vídeo dessa postagem. Se quiser ver como ficou é só clicar.

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PROBLEMA

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Vamos ver como se resolve esse problema. Tente pensar um pouco nele antes de ver a solução.

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