Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente.

by Roberto M.

Já aprendemos, em outros artigos, o que é divisor e divisibilidade e, também, o que são múltiplos de um número natural. Quem quiser relembrar pode ler esses artigos. Hoje, vamos falar sobre os critérios de divisibilidade ou regras de divisibilidade.

Há várias situações, no mundo da matemática, nas quais precisamos, simplesmente, saber se um número é divisível por outro ou se o outro é múltiplo do um, não necessitando do resultado da conta de divisão.

Os critérios ou regras de divisibilidade servem para nos ajudar a verificar se um determinado número é divisível por outro, sem a necessidade de realizarmos a conta de divisão, ou seja, verificamos a divisibilidade ou se um número é múltiplo de outro muito mais rapidamente.

Vamos, então, mostrar algumas regrinhas práticas para “como saber se um número é divisível por outro sem efetuar a divisão”.

DIVISIBILIDADE POR 0. Quando um número é divisível por zero

Nunca um número será divisível por zero.

Nenhum número é divisível por zero.

É proibido dividir por zero.

Mandamento da matemática: “Nunca dividirás por zero”

DIVISIBILIDADE POR 1. Quando um número é divisível por um

Essa é muito fácil e não precisa nem de verificação e nem de exemplos pois,  

todo e qualquer número é divisível por 1.

DIVISIBILIDADE POR 2. Quando um número é divisível por dois

Para um número ser divisível por 2, basta ele ser um número par.

Portanto se um número terminar com o algarismo 0, 2, 4, 6 ou 8 ele será par e, consequentemente, será divisível por 2.

Exemplos:

1248       é divisível por 2      pois,    termina em 8 que é um número par

2483   não é divisível por 2    pois,    termina em 3 que é um número ímpar

DIVISIBILIDADE POR 3. Quando um número é divisível por três

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 3 basta somar seus algarismos e verificar se essa soma é divisível por 3.

Exemplos:

2127      é divisível por 3        pois,    2 + 1 + 2 + 7 = 12   que é divisível por 3

3691   não é divisível por 3     pois,    3 + 6 + 9 + 1 = 19   que não é divisível por 3

DIVISIBILIDADE POR 4. Quando um número é divisível por quatro.

Um número é divisível por 4 quando o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por 4 ou forem dois zeros.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 4 basta pegar o número formado por seu dois últimos algarismos e verificar se ele é divisível por 4 ou se são dois zeros.

Para isso, basta verificar se esse número é par e sua metade também é par, pois todo número divisível por 4 é par e sua metade continua sendo par.

Exemplos:

2100      é divisível por 4      pois, termina em dois zeros

3152      é divisível por 4      pois, termina em 52 que é divisível por 4 

                                                             (52 é par e sua metade 26 é par)

4442   não é divisível por 4   pois, termina em 42 que não é divisível por 4 

                                                              (42 é par e sua metade 21 é ímpar)

2231   não é divisível por 4   pois, termina em 31 que não é divisível por 4 

                                                                  (31 é ímpar)

DIVISIBILIDADE POR 5. Quando um número é divisível por cinco

Um número é divisível por 5 se ele terminar com o algarismo 0 ou com o algarismo 5.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 5 basta verificar se seu último algarismo é 0 ou 5.

Exemplos:

1245       é divisível por 5       pois, termina em 5

2240       é divisível por 5       pois, termina em 0

3244    não é divisível por 5    pois, não termina nem em 0, nem em 5

DIVISIBILIDADE POR 6. Quando um número é divisível por seis

Um número é divisível por 6 se ele for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 6 basta verificar se ele é par e se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos:

1236       é divisível por 6      pois, é par e 1 + 2 + 3 + 6 = 12 que é divisível por 3

1233   não é divisível por 6    pois, é ímpar apesar de ser divisível por 3 (1 + 2 + 3 + 3 = 9)

1234   não é divisível por 6    pois, apesar de par não é divisível por 3 (1 + 2 + 3 + 4 = 10)

1231   não é divisível por 6    pois, não é divisível nem por 2 e nem por 3.

DIVISIBILIDADE POR 7. Quando um número é divisível por sete

Um número é divisível por 7 quando o dobro do seu último algarismo subtraído do número formado sem o último algarismo resultar um número divisível por 7.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 7 basta pegar seu último algarismo, multiplicá-lo por 2, subtraí-lo do número formado sem esse último algarismo e verificar se essa subtração forma um número divisível por 7.

Se essa subtração for um número ainda grande, repete-se, com ele, o processo, até obter-se um número que se consiga verificar a divisibilidade por 7.

Exemplos:

1078       é divisível por 7    pois,    último algarismo 8 cujo dobro é 16

                                                     número sem o último algarismo 107

                                                     107 – 16 = 91 (divisível por 7)

2184       é divisível por 7    pois,    último algarismo 4 cujo dobro é 8

                                                     número sem o último algarismo 218

                                                     218 – 8 = 210 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                     210 => último algarismo 0 cujo dobro é 0

                                                     número sem o último algarismo 21

                                                     21 – 0 = 21 (divisível por 7)

1009   não é divisível por 7  pois,    último algarismo 9 cujo dobro é 18

                                                     número sem o último algarismo 100

                                                     100 – 18 = 82 (não é divisível por 7)

DIVISIBILIDADE POR 8. Quando um número é divisível por oito.

Um número é divisível por 8 quando o número formado por seus três últimos algarismos for divisível por 8 ou forem três zeros.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 8 basta pegar o número formado por seus três últimos algarismos e verificar se ele é divisível por 8, ou seja, tem que ser par, sua metade tem que ser par e a metade da metade também tem que ser par.

Exemplos:

1000       é divisível por 8      pois,  termina em 000 (três zeros)

1120       é divisível por 8      pois,  120 é divisível por 8 

1124   não é divisível por 8    pois,  124 não é divisível por 8

DIVISIBILIDADE POR 9. Quando um número é divisível por nove

Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos forma um número divisível por 9.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 9 basta somar seus algarismos e verificar se o número formado é divisível por 9.

Exemplos:

1233       é divisível por 9       pois, 1 + 2 + 3 + 3 = 9 que é divisível por 9

1236   não é divisível por 9     pois, 1 + 2 + 3 + 6 = 12 que não é divisível por 9

DIVISIBILIDADE POR 10. Quando um número é divisível por dez

Um número é divisível por 10 se terminar com o algarismo zero.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 10 basta verificar se ele termina com o algarismo 0.

Exemplos:

1150       é divisível por 10      pois, termina em 0

1100       é divisível por 10      pois, termina em 0

1158    não é divisível por 10   pois, não termina em 0

DIVISIBILIDADE POR 11. Quando um número é divisível por onze

Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem par,  subtraída da soma dos algarismos de ordem ímpar, der como resultado um número divisível por 11 ou der zero.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 11 basta somar os algarismos de ordem ímpar (1º, 3º, 5º....), somar os algarismos de ordem par (2º, 4º, 6º....), subtrair um do outro e verificar se esse resultado é divisível por 11 ou zero.

Exemplos:

2783       é divisível por 11       pois, (2 + 8) – (7 + 3) = 0

9284       é divisível por 11       pois, (9 + 8) – (2 + 4) = 11 (divisível por 11)

3541    não é divisível por 11    pois, (3 + 4) - (5 +1) = 1 (não é divisível por 11)

DIVISIBILIDADE POR 12. Quando um número é divisível por doze

Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 12 basta verificar se a soma dos seus algarismos é divisível por três e se os seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.

Exemplos:

1320        é divisível por 12     pois,  é divisível por 3 (soma dos algarismos igual a 6) e 

                                                       é divisível por 4 (dois últimos algarismos, 20)

1220    não é divisível por 12   pois,  é divisível por 4 (dois últimos algarismos, 20,) mas,

                                                       não é por 3 (soma dos algarismos igual 5)

1311    não é divisível por 12   pois,  é divisível por 3 (soma dos algarismos igual a 6) mas,

                                                       não é por 4 (dois últimos algarismos 11)

DIVISIBILIDADE POR 13. Quando um número é divisível por treze

Um número é divisível por 13 quando o quádruplo do seu último algarismo somado ao número formado sem o último algarismo resultar um número divisível por 13.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 13 basta pegar seu último algarismo, multiplicá-lo por 4, somá-lo ao número formado sem esse último algarismo e verificar se essa soma forma um número divisível por 13.

Se essa soma for um número ainda grande, repete-se, com ele, o processo, até obter-se um número que se consiga verificar a divisibilidade por 13.

Exemplos:

1248      é divisível por 13      pois,  último algarismo 8 cujo quádruplo é 32

                                                   número sem o último algarismo 124

                                                  124 + 32 = 156 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                   156 => último algarismo 6 cujo quádruplo é 24

                                                   número sem o último algarismo 15

                                                   15 + 24 = 39 (divisível por 13)

1009   não é divisível por 13   pois,  último algarismo 9 cujo quádruplo é 36

                                                   número sem o último algarismo 100

                                                  100 + 36 = 136 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                   136 => último algarismo 6 cujo quádruplo é 24

                                                   número sem o último algarismo 13

                                                   13 + 24 = 37 (não é divisível por 13)

DIVISIBILIDADE POR 14. Quando um número é divisível por quatorze

Um número é divisível por 14 quando ele for divisível por 2 e por 7 ao mesmo tempo.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 14 basta verificar se ele é par e se é divisível por 7.

Todo número par que é divisível por 7 é, também, divisível por 14.

Exemplos:

238     é divisível por 14           pois, é par e divisível por 7 

231   não é divisível por 14       pois, é ímpar, apesar de ser divisível por 7.

DIVISIBILIDADE POR 15. Quando um número é divisível por quinze

Um número é divisível por 15 se ele for divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 15 basta verificar se a soma de seus algarismos é divisível por 3 e se ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:

1230       é divisível por 15     pois, termina em 0 e 1 + 2 + 3 + 0 = 6 que é divisível por 3

1233   não é divisível por 15   pois, não termina em 0 ou 5 apesar de ser divisível por 3

1235   não é divisível por 15   pois, apesar de terminar em 5 não é divisível por 3 

1231   não é divisível por 15   pois, não é divisível nem por 5 e nem por 3.

DIVISIBILIDADE POR 17. Quando um número é divisível por dezessete

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo do seu último algarismo subtraído do número formado sem o último algarismo resultar um número divisível por 17.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 17 basta pegar seu último algarismo, multiplicá-lo por 5, subtraí-lo do número formado sem esse último algarismo e verificar se essa subtração forma um número divisível por 17.

Se essa subtração for um número ainda grande, repete-se, com ele, o processo, até obter-se um número que se consiga verificar a divisibilidade por 17.

Exemplos:

1581      é divisível por 17        pois, último algarismo 1 cujo quíntuplo é 5

                                                  número sem o último algarismo 158

                                                  158 - 5 = 153 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                  153 => último algarismo 3 cujo quíntuplo é 15

                                                  número sem o último algarismo 15

                                                  15 – 15 = 0 (divisível por 17)

1009    não é divisível por 17    pois, último algarismo 9 cujo quíntuplo é 45

                                                   número sem o último algarismo 100

                                                  100 – 45 = 55 (não é divisível por 17)

DIVISIBILIDADE POR 19. Quando um número é divisível por dezenove.

Um número é divisível por 19 quando o dobro do seu último algarismo somado ao número formado sem o último algarismo resultar um número divisível por 19.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 19 basta pegar seu último algarismo, multiplicá-lo por 2, somá-lo ao número formado sem esse último algarismo e verificar se essa soma forma um número divisível por 19.

Se essa soma for um número ainda grande, repete-se, com ele, o processo, até obter-se um número que se consiga verificar a divisibilidade por 19.

Exemplos:

1729      é divisível por 19        pois, último algarismo 9 cujo dobro é 18

                                                   número sem o último algarismo 172

                                                   172 + 18 = 190 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                   190 => último algarismo 0 cujo dobro é 0

                                                   número sem o último algarismo 19

                                                   19 + 0 = 19 (divisível por 19)

1009    não é divisível por 19    pois, último algarismo 9 cujo dobro é 18

                                                  número sem o último algarismo 100

                                                  100 + 18= 118 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                  118 => último algarismo 8 cujo dobro é 16

                                                   número sem o último algarismo 11

                                                   11 + 16 = 27 (não é divisível por 19)

DIVISIBILIDADE POR 23. Quando um número é divisível por vinte e três

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo ou sétuplo do seu último algarismo somado ao número formado sem o último algarismo resultar um número divisível por 23.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 23 basta pegar seu último algarismo, multiplicá-lo por 7, somá-lo ao número formado sem esse último algarismo e verificar se essa soma forma um número divisível por 23.

Se essa soma for um número ainda grande, repete-se, com ele, o processo, até obter-se um número que se consiga verificar a divisibilidade por 23.

Exemplos:

2001      é divisível por 23        pois, último algarismo 1 cujo sétuplo é 7

                                                   número sem o último algarismo 200

                                                   200 + 7 = 207 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                   207 => último algarismo 7 cujo sétuplo é 49

                                                   número sem o último algarismo 20

                                                   20 + 49 = 69 (divisível por 23)

1009     não é divisível por 23   pois, último algarismo 9 cujo sétuplo é 63

                                                   número sem o último algarismo 100

                                                   100 + 63= 163 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                   163 => último algarismo 3 cujo sétuplo é 21

                                                   número sem o último algarismo 16

                                                   16 + 21 = 37 (não é divisível por 23)

DIVISIBILIDADE POR 29. Quando um número é divisível por vinte e nove

Um número é divisível por 29 quando o triplo do seu último algarismo somado ao número formado sem o último algarismo resultar um número divisível por 29.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 29 basta pegar seu último algarismo, multiplicá-lo por 3, somá-lo ao número formado sem esse último algarismo e verificar se essa soma forma um número divisível por 29.

Se essa soma for um número ainda grande, repete-se, com ele, o processo, até obter-se um número que se consiga verificar a divisibilidade por 29.

Exemplos:

1943      é divisível por 29        pois, último algarismo 3 cujo triplo é 9

                                                   número sem o último algarismo 194

                                                   194 + 9 = 203 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                   203 => último algarismo 3 cujo triplo é 9

                                                   número sem o último algarismo 20

                                                   20 + 9 = 29 (divisível por 29)

1009   não é divisível por 29     pois, último algarismo 9 cujo triplo é 27

                                                   número sem o último algarismo 100

                                                   100 + 27= 127 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                   127 => último algarismo 7 cujo triplo é 21

                                                   número sem o último algarismo 12

                                                   12 + 21 = 33 (não é divisível por 29)

DIVISIBILIDADE POR 31. Quando um número é divisível por trinta e um

Um número é divisível por 31 quando o triplo do seu último algarismo subtraído do número formado sem o último algarismo resultar um número divisível por 31.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 31 basta pegar seu último algarismo, multiplicá-lo por 3, subtraí-lo do número formado sem esse último algarismo e verificar se essa subtração forma um número divisível por 31.

Se essa subtração for um número ainda grande, repete-se, com ele, o processo, até obter-se um número que se consiga verificar a divisibilidade por 31.

Exemplos:

2077      é divisível por 31        pois, último algarismo 7 cujo triplo é 21

                                                   número sem o último algarismo 207

                                                   207 - 21 = 186 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                   186 => último algarismo 6 cujo triplo é 18

                                                   número sem o último algarismo 18

                                                   18 – 18 = 0 (divisível por 31)

1009   não é divisível por 31     pois, último algarismo 9 cujo triplo é 27

                                                   número sem o último algarismo 100

                                                   100 – 27= 73 (não é divisível por 31)

DIVISIBILIDADE POR 49. Quando um número é divisível por 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo do seu último algarismo somado ao número formado sem o último algarismo resultar um número divisível por 49.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 49 basta pegar seu último algarismo, multiplicá-lo por 5, somá-lo ao número formado sem esse último algarismo e verificar se essa soma forma um número divisível por 49.

Se essa soma for um número ainda grande, repete-se, com ele, o processo, até obter-se um número que se consiga verificar a divisibilidade por 49.

Exemplos:

2107      é divisível por 49        pois, último algarismo 7 cujo quíntuplo é 35

                                                   número sem o último algarismo 210

                                                   210 + 35 = 245 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                   245 => último algarismo 5 cujo quíntuplo é 25

                                                   número sem o último algarismo 24

                                                   24 + 25 = 49 (divisível por 49)

1009   não é divisível por 49     pois, último algarismo 9 cujo quíntuplo é 45

                                                   número sem o último algarismo 100

                                                   100 + 45= 145 (ainda não dá pra ver, continuamos)

                                                   145 => último algarismo 5 cujo quíntuplo é 25

                                                   número sem o último algarismo 14

                                                   14 + 25 = 39 (não é divisível por 49)

DIVISIBILIDADE POR 50. Quando um número é divisível por cinquenta

Um número é divisível por 50 quando ele terminar em 00 ou 50.

Portanto, para verificar se um número é divisível por 50 basta verificar se seus dois últimos algarismos são 00 ou 50.

Exemplos:

2250       é divisível por 50         pois, termina em 50

3900       é divisível por 50         pois, termina em 00

2260     não é divisível por 50     pois, não termina em 00 ou 50

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