A hierarquia das operações aritméticas e algébricas: a ordem correta das operações.

by Roberto M.

Qual é a ordem correta das operações matemáticas? 
O que se faz primeiro na resolução de uma expressão algébrica, a multiplicação ou a adição, a potenciação ou a divisão, a adição ou a subtração?

Em primeiro lugar, devemos saber que tudo o que iremos falar sobre a ordem em que as operações matemáticas devem ser executadas é uma convenção.

Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Soma e Multiplicação na mesma expressão

by Roberto M.

Nas aulas anteriores vimos como utilizar a adição e a subtração para isolar uma variável e balancear uma igualdade.

Vimos, também, como utilizar a multiplicação e a divisão para isolar uma variável.

Dando continuidade, hoje vamos falar de como isolar a variável quando temos todas as quatro operações misturadas na expressão.

Como exemplo usaremos o enigma a seguir:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

5x + 4 = 19

Que verbalizando ficaria: ” 5 x mais 4 é igual a 19 “

E que após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 3

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘5x + 4 = 19’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 3’

Isso parece complicado. Mas não é se resolvermos o problema em duas etapas.

Para isolar o 'x', primeiro vamos retirar o '+4' e em seguida retiramos o 'vezes 5'.

Vamos ao exemplo:

- Primeira Etapa: Retirada do '+4' (como feito em Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Adição e Subtração)

Quero remover o ’+4’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso subtraímos 4	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X + 4 = 19	5X + 4 = 19	5X + 4 = 19	5X +0 = 15	5X = 15
	-4             0	-4     -4             0     15

- Segunda Etapa: Retirada do 'vezes 5' (como feito em  PrimeirosPassos da Álgebra - Isolando a variável com Multiplicação e Divisão)

 

Quero remover o ’5’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Dividimos por 5	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X  = 15	5X = 15	5X = 15	1X = 3	X = 3
	:5         1	:5       :5        1        3

Com o tempo, vamos adquirindo experiência

Quando tivermos um pouco mais de experiência nos cálculos, podemos resolver da seguinte maneira: 

1 - Começamos com  ----------------------  5x + 4 = 19

2 - Subtraímos 4 dos dois lados   --------  5x + 4 - 4 = 19 - 4

3 - Simplificamos   -------------------------  5x = 15

4 - Dividimos por 5 dos dois lados   -----  5x / 5 = 15 / 5

5 - Simplificamos   -------------------------- x = 3 

Ou ainda mais rápido, fazendo assim:

1 - Começamos com  ----------------------  5x + 4 = 19

2 - Subtraímos 4 dos dois lados   --------  5x = 15

3 - Dividimos por 5 dos dois lados   -----  x = 15

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do  "="  devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula avançaremos um pouco na Álgebra falando sobre "A hierarquia das operações aritméticas e algébricas: a ordem correta das operações.". Acompanhem.

Artigos Recomendados:

• Multiplicação de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de vezes.
• Divisão Exata  de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de dividir.
• Adição de números naturais. Como montar e executar a operação. Fazendo uma conta de mais.
• Conta de Menos. Subtração de números naturais. Como armar e executar a operação de diminuir
• As Quatro Operações fundamentais da Aritmética e sua nomenclatura.

Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Multiplicação e Divisão

by Roberto M.

Com a álgebra, conseguimos resolver vários enigmas brincando com letras, números e símbolos.

Na aula anterior vimos como utilizar a adição e a subtração para isolar uma variável e balancear uma igualdade.

Dando continuidade, hoje vamos falar de como usar a multiplicação e a divisão para resolver problemas.

Como exemplo usaremos o enigma a seguir:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

🖂 x 5 = 15

Bem, a resposta é 3, não é mesmo? Isto porque 3 x 5 = 15. Essa também foi fácil.

Só que na álgebra, nós não usamos envelopes, nós usamos uma letra (normalmente o 'x' ou o 'y', mas pode ser qualquer uma). Então, escrevemos assim:

X x 5 = 15

Acontece que o X (variável) é muito parecido com o x (sinal de multiplicação). Isso pode gerar muita confusão.

Então, na álgebra, não usaremos o sinal de multiplicação (x) entre números e letras.

Daí, colocamos o número ao lado da letra para significar que estamos multiplicando, ficando assim:

5x = 15

Que verbalizando ficaria: ” 5 x é igual a 15 “

E após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 3

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘5x = 15’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 3’

Mas, ao invés de dizer ‘é óbvio que x=3’ vamos usar a seguinte abordagem passo a passo:

1- Devemos descobrir o que remover para isolar o ‘x’.

2- Depois, removemos fazendo o oposto (multiplicar é o oposto de dividir).

3- Fazemos isso de ambos os lados.

Vamos a um exemplo:

 

Quero remover o ’5’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Dividimos por 5	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X  = 15	5X = 15	5X = 15	1X = 3	X = 3
	:5       1	:5       :5      1        3

POR QUE FAZER A MESMA COISA DE AMBOS OS LADOS?

Para manter o equilíbrio.

5X = 15  

 está equilibrado (enigma inicial)

5X : 5 = 15

 desequilibrou o lado esquerdo porque dividimos por algo desse lado.

5X : 5 = 15 : 5

 equilibrou novamente ao dividirmos pela mesma coisa do outro lado.

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do  "="  devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula daremos continuidade a esse assunto com "Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Soma e Multiplicação na mesma expressão". Acompanhem.

Artigos Recomendados:

• Multiplicação de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de vezes.
• Divisão Exata  de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de dividir.
• Multiplicação e Potenciação de Números Decimais. Regras Práticas.
• Divisão de Números Decimais. Regra Prática
• As Quatro Operações fundamentais da Aritmética e sua nomenclatura.

Divisibilidade por cinco. Quando um número é divisível por 5 (cinco)

by Roberto M.

Hoje falaremos sobre a divisibilidade por 5 (cinco). Quem tiver curiosidade poderá ver outros artigos onde já falamos sobre a "Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero.", sobre a  "Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um).". 

Já falamos também  sobre a "Divisibilidade por dois. Quais números são divisíveis por 2 (dois)." , sobre a "Divisibilidade por Três. Quando um número é divisível por 3 (três).¨ e sobre a “Divisibilidade por quatro. Quando um número é divisível por 4 (quatro)”.

Como Inscrever um Pentágono Regular em uma Circunferência.

by Roberto M.

Outro dia, no artigo "Divisão da circunferência em cinco partes iguais. Construindo um pentágono regular., mostrei, detalhadamente, como fazer para dividir uma circunferência qualquer em cinco partes iguais e como é que se inscreve um pentágono regular numa circunferência.

Vimos que para construir um pentágono regular, dividimos uma circunferência em cinco partes iguais e  os cinco pontos que achamos serão também os vértices do pentágono regular inscrito nela.

Divisibilidade por quatro. Quando um número é divisível por 4 (quatro)

by Roberto M.

Em outros artigos já falamos sobre a "Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero.", sobre a  "Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um).",  sobre a "Divisibilidade por dois. Quais números são divisíveis por 2 (dois)." e também sobre a "Divisibilidade por Três. Quando um número é divisível por 3 (três).¨

Divisibilidade por Três. Quando um número é divisível por 3 (três).

by Roberto M.

Em artigos anteriores já falamos sobre a "Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero.", sobre a  "Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um)." e também sobre a "Divisibilidade por dois. Quais números são divisíveis por 2 (dois)."

No artigo  "Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente." falamos sobre algumas regrinhas práticas para descobrir a divisibilidade por alguns números entre zero e cinquenta.

Divisibilidade por dois. Quais números são divisíveis por 2 (dois).

by Roberto M.

No vídeo "Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero." e no vídeo "Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um)." ilustramos quais os números que são divisíveis por zero e por um.

No artigo  "Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente." mostrei algumas regrinhas práticas para descobrir a divisibilidade por alguns números entre zero e cinquenta.

Hoje vamos mostrar, em um filminho, quando um número é divisível por 2 (dois). 

Basta ser par, ou seja, terminar em 0, 2 , 4, 6 ou 8 para que o número seja divisível por 2 (dois).

Artigos Recomendados:

• Processo para extrair a Raiz Quadrada de um número na Raça.
• Como fazer arredondamento da numeração decimal.
• Entendendo o que são Sistemas de Numeração.
• Como Funciona o Sistema de Numeração Decimal .
• Sistemas Numéricos Posicionais. Generalizando para qualquer Base.

Divisibilidade por um. Quando um número é divisível por 1 (um).

by Roberto M.

No artigo  "Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente." mostrei algumas regrinhas práticas para descobrir a divisibilidade por alguns números entre zero e cinquenta.

Divisibilidade por zero. Quando um número é Divisível por zero.

by Roberto M.

Já fiz um artigo chamado: Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente., onde falo como descobrir se um número natural é divisível por outro número natural sem executar a conta de divisão.

Divisão da circunferência em cinco partes iguais.Construindo um pentágono regular.

by Roberto M.

Como fazer para dividir uma circunferência qualquer em cinco partes iguais? 
Como é que se inscreve um pentágono numa circunferência? 
Como se faz par construir um pentágono regular?

Quando dividimos uma circunferência em cinco partes iguais, os cinco pontos que achamos são também os vértices do pentágono regular inscrito na circunferência.

Divisão de Números Decimais. Regra Prática

by Roberto M.

Já vimos, anteriormente, muitas coisas sobre divisão.

Já aprendemos sobre “Divisor e Divisibilidade nos números naturais. “ , sobre “Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente. “, sobre “Divisão de Frações. Como fazer para dividir dois números fracionários. “ ou sobre “Regra prática para obter o Conjunto dos Divisores de um número natural.”

Hoje vamos falar sobre a divisão de dois números decimais, ou seja, vamos aprender regras práticas para dividir dois números com vírgulas.

Divisão Exata de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de dividir.

by Roberto M.

Já sabemos o que é o “Conjunto dos Números Naturais” e já aprendemos  somar números naturais ,  subtrair números naturais e, também,  fazer a Multiplicação de Números Naturais.

Hoje vamos falar sobre a divisão de números naturais: o que é uma divisão e como executá-la. 

Vamos ver o procedimento para fazer uma conta de “dividir”.

Múltiplos de um número natural.

by Roberto M.

O que é múltiplo de um número? 
Quais são os múltiplos de um determinado número natural? 

Como obtemos os múltiplos de um número? 

O número zero tem algum múltiplo? 

Para entender o conceito de múltiplo, devemos antes relembrar os conceitos de divisor e divisibilidade. 

Para isso, podemos reler o artigo “Divisor e Divisibilidade nos números naturais”.

Regra prática para obter o Conjunto dos Divisores de um número natural.

by Roberto M.

Vamos ver hoje como se faz para obter todos os divisores de um número natural qualquer. Nunca esquecendo que o 1 é divisor de qualquer número natural e que qualquer número natural, a menos do zero, é divisor dele mesmo. O zero nunca será divisor de ninguém, pois é proibido dividir por zero.

Anteriormente já aprendemos várias coisas sobre os números naturais.

Propriedades dos Numerais Decimais. Deslocamento da vírgula.

by Roberto M.

Já vimos o que vem a ser uma fração decimal e a relação que existe entre essas frações e os números decimais e, agora que já sabemos o que são esses tais números decimais, com suas casas ou ordens decimais e como se faz a leitura dos numerais decimais, podemos avançar um pouco mais e conhecer algumas propriedades desses números.

Como transformar numeral decimal em fração decimal e vice-versa.

by Roberto M.

Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula. Para ler números decimais é necessário primeiramente, observar a localização da vírgula que separa a parte inteira da parte decimal.

Na postagem anterior vimos os conceitos de fração decimal e de numeral decimal. 

Dividindo a circunferência em nove partes iguais. A construção de um Eneágono regular.

by Roberto M.

Como é que se constrói um eneágono regular? Qual é o método utilizado para se dividir uma circunferência em nove partes iguais? Como se faz para inscrever um eneágono regular numa circunferência?

Quando dividimos uma circunferência em nove partes iguais, os nove pontos que achamos são também os vértices do eneágono regular inscrito na circunferência.

Frações e numerais decimais. Ampliando o sistema de numeração decimal para representar partes da unidade. Casas decimais ou Ordens decimais.

by Roberto M.

É comum, atualmente, utilizarmos frações. Entretanto, houve tempo em que elas nem eram conhecidas. 

O conceito de frações foi introduzido quando o homem começou a medir e a representar medidas.

Os egípcios usavam apenas frações que tinham como numerador o número 1 e denominador um número inteiro (1/2; 1/3; 1/4; 1/5; etc.). 

Os babilônios usavam, em geral, frações com denominador 60.

Divisão de Frações. Como fazer para dividir dois números fracionários.

by Roberto M.

Vamos aprender, hoje, o procedimento para dividir duas frações.

Já sabemos o que são números fracionários, que o denominador de uma fração indica em quantas partes iguais foi dividida a unidade e que o numerador de uma fração indica quantas partes iguais nós pegamos dessa unidade. Relembrem “Frações e Números fracionários. Introduzindo o conceito”.