Introdução ao Cálculo Algébrico - As Expressões Algébricas ou Literais

by Roberto M.

Na aula anterior falamos sobre as Sentenças Matemáticas. Lá aprendemos os conceitos de Sentenças Falsas ou Verdadeiras e Sentenças Abertas ou Fechadas.

Vimos também o que são as variáveis das Sentenças e como Resolver uma sentença matemática aberta.

Introdução ao Cálculo Algébrico - As Sentenças Matemáticas.

by Roberto M.

Primeiramente, vamos ver o que significa Sentença.

Sentença, na língua portuguesa, significa um conjunto de palavras que encerra um sentido completo. Ou seja, é uma frase que se explica por si só .Por exemplo: “Brasília tem um clima muito seco”.

Já, na matemática, quando temos uma ‘frase’ que envolve números, símbolos, variáveis e sinais, chamamos essa ‘frase’ de Sentença Matemática.

A hierarquia das operações aritméticas e algébricas: a ordem correta das operações.

by Roberto M.

Qual é a ordem correta das operações matemáticas? 
O que se faz primeiro na resolução de uma expressão algébrica, a multiplicação ou a adição, a potenciação ou a divisão, a adição ou a subtração?

Em primeiro lugar, devemos saber que tudo o que iremos falar sobre a ordem em que as operações matemáticas devem ser executadas é uma convenção.

Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Soma e Multiplicação na mesma expressão

by Roberto M.

Nas aulas anteriores vimos como utilizar a adição e a subtração para isolar uma variável e balancear uma igualdade.

Vimos, também, como utilizar a multiplicação e a divisão para isolar uma variável.

Dando continuidade, hoje vamos falar de como isolar a variável quando temos todas as quatro operações misturadas na expressão.

Como exemplo usaremos o enigma a seguir:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

5x + 4 = 19

Que verbalizando ficaria: ” 5 x mais 4 é igual a 19 “

E que após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 3

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘5x + 4 = 19’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 3’

Isso parece complicado. Mas não é se resolvermos o problema em duas etapas.

Para isolar o 'x', primeiro vamos retirar o '+4' e em seguida retiramos o 'vezes 5'.

Vamos ao exemplo:

- Primeira Etapa: Retirada do '+4' (como feito em Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Adição e Subtração)

Quero remover o ’+4’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso subtraímos 4	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X + 4 = 19	5X + 4 = 19	5X + 4 = 19	5X +0 = 15	5X = 15
	-4             0	-4     -4             0     15

- Segunda Etapa: Retirada do 'vezes 5' (como feito em  PrimeirosPassos da Álgebra - Isolando a variável com Multiplicação e Divisão)

 

Quero remover o ’5’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Dividimos por 5	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X  = 15	5X = 15	5X = 15	1X = 3	X = 3
	:5         1	:5       :5        1        3

Com o tempo, vamos adquirindo experiência

Quando tivermos um pouco mais de experiência nos cálculos, podemos resolver da seguinte maneira: 

1 - Começamos com  ----------------------  5x + 4 = 19

2 - Subtraímos 4 dos dois lados   --------  5x + 4 - 4 = 19 - 4

3 - Simplificamos   -------------------------  5x = 15

4 - Dividimos por 5 dos dois lados   -----  5x / 5 = 15 / 5

5 - Simplificamos   -------------------------- x = 3 

Ou ainda mais rápido, fazendo assim:

1 - Começamos com  ----------------------  5x + 4 = 19

2 - Subtraímos 4 dos dois lados   --------  5x = 15

3 - Dividimos por 5 dos dois lados   -----  x = 15

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do  "="  devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula avançaremos um pouco na Álgebra falando sobre "A hierarquia das operações aritméticas e algébricas: a ordem correta das operações.". Acompanhem.

Artigos Recomendados:

• Multiplicação de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de vezes.
• Divisão Exata  de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de dividir.
• Adição de números naturais. Como montar e executar a operação. Fazendo uma conta de mais.
• Conta de Menos. Subtração de números naturais. Como armar e executar a operação de diminuir
• As Quatro Operações fundamentais da Aritmética e sua nomenclatura.

Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Multiplicação e Divisão

by Roberto M.

Com a álgebra, conseguimos resolver vários enigmas brincando com letras, números e símbolos.

Na aula anterior vimos como utilizar a adição e a subtração para isolar uma variável e balancear uma igualdade.

Dando continuidade, hoje vamos falar de como usar a multiplicação e a divisão para resolver problemas.

Como exemplo usaremos o enigma a seguir:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

🖂 x 5 = 15

Bem, a resposta é 3, não é mesmo? Isto porque 3 x 5 = 15. Essa também foi fácil.

Só que na álgebra, nós não usamos envelopes, nós usamos uma letra (normalmente o 'x' ou o 'y', mas pode ser qualquer uma). Então, escrevemos assim:

X x 5 = 15

Acontece que o X (variável) é muito parecido com o x (sinal de multiplicação). Isso pode gerar muita confusão.

Então, na álgebra, não usaremos o sinal de multiplicação (x) entre números e letras.

Daí, colocamos o número ao lado da letra para significar que estamos multiplicando, ficando assim:

5x = 15

Que verbalizando ficaria: ” 5 x é igual a 15 “

E após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 3

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘5x = 15’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 3’

Mas, ao invés de dizer ‘é óbvio que x=3’ vamos usar a seguinte abordagem passo a passo:

1- Devemos descobrir o que remover para isolar o ‘x’.

2- Depois, removemos fazendo o oposto (multiplicar é o oposto de dividir).

3- Fazemos isso de ambos os lados.

Vamos a um exemplo:

 

Quero remover o ’5’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Dividimos por 5	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
5X  = 15	5X = 15	5X = 15	1X = 3	X = 3
	:5       1	:5       :5      1        3

POR QUE FAZER A MESMA COISA DE AMBOS OS LADOS?

Para manter o equilíbrio.

5X = 15  

 está equilibrado (enigma inicial)

5X : 5 = 15

 desequilibrou o lado esquerdo porque dividimos por algo desse lado.

5X : 5 = 15 : 5

 equilibrou novamente ao dividirmos pela mesma coisa do outro lado.

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do  "="  devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula daremos continuidade a esse assunto com "Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Soma e Multiplicação na mesma expressão". Acompanhem.

Artigos Recomendados:

• Multiplicação de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de vezes.
• Divisão Exata  de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de dividir.
• Multiplicação e Potenciação de Números Decimais. Regras Práticas.
• Divisão de Números Decimais. Regra Prática
• As Quatro Operações fundamentais da Aritmética e sua nomenclatura.

Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Adição e Subtração

by Roberto M.

A álgebra pode ser muito divertida. Com ela conseguimos resolver vários enigmas brincando com letras, números e símbolos.

Conforme vamos desvendando alguns dos seus vários “truques”, nossas habilidades para resolver questões aumentam gradativamente.

Hoje vamos falar de um primeiro “truque”, o mais elementar, o “truque” de como usar a adição e a subtração para resolver problemas.

Como exemplo usaremos um enigma:

UM ENIGMA

Qual é o número que está faltando na sentença matemática abaixo?

🖂 - 4 = 6

Bem, a resposta é 10, não é mesmo? Isto porque 10 - 4 = 6. Essa foi fácil.

Só que na álgebra, nós não usamos envelopes, nós usamos uma letra (normalmente o 'x' ou o 'y', mas pode ser qualquer uma). Então, escrevemos assim:

X - 4 = 6

Na verdade, tudo é muito simples. A letra (nesse caso o 'x') significa exatamente o seguinte: “nós não sabemos o valor desse número ainda”. 

Essa letra, que representa o número desconhecido, frequentemente é chamada de variável.

E após resolvermos o enigma escrevemos:

X = 10

POR QUE USAMOS UMA LETRA

Temos alguns motivos:

1- É muito mais fácil escrever ‘x’ do que desenhar um ‘envelope vazio’.

2- É muito mais fácil dizer ‘x’ do que dizer ‘envelope vazio’.

3- Se tivermos vários ‘envelopes vazios’ (diferentes variáveis), nós podemos usar diferentes letras para representar cada uma delas.

Logo, escrevermos ‘x’ é muito melhor do que termos ‘envelopes vazios’

E não precisa ser x, pode ser y ou w... ou qualquer letra ou símbolo que quisermos.

COMO RESOLVER

Resolver um problema em Álgebra, é exatamente como resolver um enigma.

Nesse enigma começamos com alguma coisa como ‘x - 4 = 6’ e queremos terminar com alguma coisa como ‘x = 10’

Mas, ao invés de dizer ‘é óbvio que x=10’ vamos usar a seguinte abordagem passo a passo:

1- Devemos descobrir o que remover para isolar o ‘x’.

2- Depois, removemos fazendo o oposto (adicionar é o oposto de subtrair).

3- Fazemos isso de ambos os lados.

Vamos a um exemplo:

 

Quero remover o ’-4’	Para remove-lo Fazemos o oposto Nesse caso Somamos 4	Fazemos isso Dos dois lados	Isso dá.....	RESOLVIDO
X - 4 = 6	X - 4 = 6	X - 4 = 6	X - 0 = 10	X = 10
	+4           0	+4   +4             0    10

POR QUE FAZER A MESMA COISA DE AMBOS OS LADOS?

Para manter o equilíbrio.

X - 4 = 6  

 está equilibrado (enigma inicial)

X - 4 +4 = 6

 desequilibrou o lado esquerdo porque acrescentamos algo desse lado.

X - 4 +4 = 6 +4

 equilibrou novamente ao acrescentarmos a mesma coisa do outro lado.

OBSERVAÇÃO

Para manter o equilíbrio, o que fazemos de um lado do  "="  devemos fazer também do outro lado!!!!

Na próxima aula daremos continuidade a esse assunto com "Primeiros Passos da Álgebra - Isolando a variável com Multiplicação e Divisão". Acompanhem.

Artigos Recomendados:

• Adição de números naturais. Como montar e executar a operação. Fazendo uma conta de mais.
• Conta de Menos. Subtração de números naturais. Como armar e executar a operação de diminuir
• Adição e Subtração de números decimais.
• As Quatro Operações fundamentais da Aritmética e sua nomenclatura.

 

Divisão de Números Decimais. Regra Prática

by Roberto M.

Já vimos, anteriormente, muitas coisas sobre divisão.

Já aprendemos sobre “Divisor e Divisibilidade nos números naturais. “ , sobre “Critérios de Divisibilidade. Verificando a divisibilidade rapidamente. “, sobre “Divisão de Frações. Como fazer para dividir dois números fracionários. “ ou sobre “Regra prática para obter o Conjunto dos Divisores de um número natural.”

Hoje vamos falar sobre a divisão de dois números decimais, ou seja, vamos aprender regras práticas para dividir dois números com vírgulas.

Multiplicação e Potenciação de Números Decimais. Regras Práticas.

by Roberto M.

Em outros artigos, já vimos como fazer “Multiplicação de Números Naturais. Como montar e executar uma conta de vezes.” e também já falamos sobre a “Potenciação ou Exponenciação. “, bem como da “Multiplicação de Frações. Como fazer para multiplicar números fracionários. “

Hoje vamos falar sobre como fazer conta “de vezes” com números decimais, ou seja, aqueles que possuem vírgula.

Vamos mostrar, também, como elevar um número decimal a um expoente natural.

Um símbolo para o Produtório Definido. A notação PI para produtório.

by Roberto M.

Já falamos, em outras postagens, da importância dos símbolos na matemática. Quase tudo na matemática gira em torno de símbolos. Desde os próprios algarismos, que expressam quantidades, até os sinais de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Alguns símbolos explicitam operações simples e outros são usados para compactar operações mais complexas e as tornar mais simples de visualizar no papel.

A Notação Fatorial - n! – O que é, e como calcular um fatorial

by Roberto M.

Quase tudo na matemática envolve símbolos. Existem símbolos para expressar a soma, a multiplicação, a divisão, a radiciação, o somatório e muito mais. Até mesmo os algarismos são símbolos que expressam quantidades.

Outro dia falamos sobre o símbolo dos somatórios definidos, a famosa notação sigma. Relembre vendo “A Notação Sigma. Um símbolo para os somatórios definidos.”

Demonstrando que Dois é igual a um. Absurdo Matemático induzido por um erro algébrico inadmissível.

by Roberto M.

A matemática, às vezes, nos prega algumas peças que parecem não ter explicação. Entretanto, se analisarmos, com critério, todas as passagens e, à luz das regras algébricas corretas, sem dúvida e com certeza, conseguiremos desvendar o mistério.

Devemos ficar atentos: há coisas na matemática que nunca, em hipótese alguma, podemos fazer. Existem regras, que se descumpridas, levam a incoerências inimagináveis.