Cálculo da Área Circular Sombreada. Duas circunferências tangentes a um quadrado.

by Roberto M.

PROBLEMA

Considere dois círculos tangentes entre si e tangentes ao quadrado como mostrado na figura a seguir.

Sabendo que o quadrado tem lado de 2 cm,  Determine a área circular sombreada.

Vamos fazer um passo a passo da resolução desse problema, mas pense um pouco nele, tente resolve-lo antes de ver a solução.

RESOLUÇÃO

1 - Como a circunferência maior tangencia o quadrado de lado igual a 2, podemos dizer que seu raio é igual a 1.

Como não sabemos o valor do raio da circunferência menor, vamos chama-lo de raio R.

2 - Agora, vamos tentar descobrir o valor do raio R, para conseguirmos, depois, calcular a área sombreada, que na verdade é a área do círculo de raio R.

Para facilitar nosso raciocínio, vamos traçar 3 retas.

2.1 - A primeira reta será paralela ao lado superior do quadrado passando pelo ponto B (centro da circunferência menor).

2.2 - A segunda reta será paralela ao lado lateral do quadrado passando pelo ponto A (centro da circunferência maior) e definirá juntamente com a reta anterior o ponto C (intersecção das duas retas)

2.3 - A terceira reta passará pelos pontos A e B (centro das duas circunferências)

3 - Como podemos notar, com essa construção formamos um triângulo ABC (triângulo retângulo em C)

Vamos ver se conseguimos descobrir o valor dos lados desse triângulo. 

Para isso, vamos marcar os valores dos raios no desenho (R para o raio menor e 1 para o raio maior) e vamos analisar a figura.

Analisando a figura, descobrimos que:

BC = 1 - R

AC = 1 - R

AB = 1 + R

4 - Podemos muito bem usar o Teorema de Pitágoras nesse Triângulo Retângulo ABC

Teorema de Pitágoras => cateto² + cateto² =  hipotenusa²

Como vimos, temos: 

Cateto AC = 1 - R

Cateto BC = 1 - R

Hipotenusa AB = 1 + R

Logo:

(1 - R)² + (1 - R)² = (1 + R)²

5 - Vamos manejar essa equação para chegar em algo que consigamos calcular:

6 - Equação de segundo grau é uma equação que sabemos resolver. Lembrem-se da Fórmula de Báskara.

7 - Obtido o raio R, podemos agora calcular a área sombreada, que nada mais é do que o círculo de raio R

CONHEÇA A VERSÃO EM VÍDEO DESSA POSTAGEM

Essa é a versão em vídeo dessa postagem. Se quiser ver como ficou é só clicar.

Artigos Recomendados:

• Construção de um triângulo qualquer. Condição de existência de um triângulo.
• Classificação dos triângulos quanto aos ângulos. Acutângulo, Retângulo, Obtusângulo.
• Posições relativas de duas retas: concorrentes, paralelas, coplanares, reversas.
• Côncavo e convexo na geometria. Curvas, superfícies, ângulos e polígonos.
• Octógono Regular e a circunferência dividida em oito partes iguais.

Como Inscrever um Pentágono Regular em uma Circunferência.

by Roberto M.

Outro dia, no artigo "Divisão da circunferência em cinco partes iguais. Construindo um pentágono regular., mostrei, detalhadamente, como fazer para dividir uma circunferência qualquer em cinco partes iguais e como é que se inscreve um pentágono regular numa circunferência.

Vimos que para construir um pentágono regular, dividimos uma circunferência em cinco partes iguais e  os cinco pontos que achamos serão também os vértices do pentágono regular inscrito nela.

Como traçar um Óvulo Geométrico. Método Construtivo.

by Roberto M.

Uma curva oval, é uma curva geométrica plana e fechada constituída pela concordância de arcos de circunferência.

As ovais podem ser classificadas em regulares e irregulares.

As ovais regulares, também conhecidas como “falsa elipse”, apresentam dois eixos de simetria. 

Já uma oval irregular, também chamada de óvulo, possui um só eixo de simetria.

Dividindo a Circunferência em Quatro partes iguais e inscrevendo um Quadrado.

by Roberto M.

Como fazer para dividir uma circunferência qualquer em quatro partes iguais? Como é que se inscreve um quadrado numa circunferência?

Quando dividimos uma circunferência em quatro partes iguais, os quatro pontos que achamos são também os vértices do quadrado inscrito na circunferência.

Dividindo a circunferência em três partes iguais e inscrevendo um triângulo equilátero.

by Roberto M.

Como fazer para construir uma circunferência dividida em três partes iguais? Como inscrever um triângulo eqüilátero numa circunferência?

Ao dividir a Circunferência em três partes iguais, acharemos os três pontos que serão os vértices do triângulo inscrito nessa circunferência.

Divisão da circunferência em cinco partes iguais.Construindo um pentágono regular.

by Roberto M.

Como fazer para dividir uma circunferência qualquer em cinco partes iguais? 
Como é que se inscreve um pentágono numa circunferência? 
Como se faz par construir um pentágono regular?

Quando dividimos uma circunferência em cinco partes iguais, os cinco pontos que achamos são também os vértices do pentágono regular inscrito na circunferência.

Circunferência. Definição e Construção.

by Roberto M.

O que é circunferência? O que é distância entre dois pontos? O que é raio? O que é centro de uma circunferência? Como traçar uma circunferência? 

Antes de tudo, é bom ver o artigo sobre noções de geometria e relembrar as idéias de ponto, reta e plano. Em seguida, veja também um outro artigo, e relembre os conceitos sobre semi-reta e segmento de reta.

Dividindo a circunferência em nove partes iguais. A construção de um Eneágono regular.

by Roberto M.

Como é que se constrói um eneágono regular? Qual é o método utilizado para se dividir uma circunferência em nove partes iguais? Como se faz para inscrever um eneágono regular numa circunferência?

Quando dividimos uma circunferência em nove partes iguais, os nove pontos que achamos são também os vértices do eneágono regular inscrito na circunferência.

Polígono estrelado de cinco pontas. Como construir uma estrela de cinco pontas.

by Roberto M.

Outro dia, ensinei a fazer uma estrela de seis pontas devido à necessidade de minha esposa, que é professora de artes manuais, para um dos projetos de patchwork com seus alunos. A necessidade dela não parou por aí. Em outro trabalho ela precisou de um molde para uma estrela de cinco pontas.

Descobri, então, que de vez em quando também é necessário saber desenhar, geometricamente, um polígono estrelado de cinco pontas.

Como construir uma estrela de seis pontas. Polígono estrelado de seis pontas.

by Roberto M.

Outro dia, para um dos projetos de patchwork com seus alunos, minha esposa, que é professora de artes manuais, precisava recortar um pedaço de tecido no formato de uma estrela de seis pontas.

Para isso, ela precisava de um molde da dita cuja estrela.

Ela me perguntou como é que se desenhava uma estrela de seis pontas perfeita.

CIRCUNCENTRO da circunferência circunscrita. Ponto notável do triângulo gerado pelas MEDIATRIZES

by Roberto M.

Começamos a estudar geometria aprendendo os conceitos iniciais de ponto, reta e plano mas, depois disso, após tomarmos conhecimento de mais algumas coisas como ângulos, poligonais e polígonos, já passamos a estudar os triângulos e, com eles, seus pontos notáveis. 

Hoje vou falar de um desses pontos notáveis, o Circuncentro do triângulo.

BISSETRIZES de um triângulo geram o INCENTRO. Um ponto notável, centro da circunferência inscrita.

by Roberto M.

No estudo da geometria, depois que aprendemos os conceitos iniciais de ponto, reta e plano, não demora muito para que alguém comente sobre os tais pontos notáveis de um triângulo. Hoje vou falar de um deles, o Incentro do triângulo.

De início, quero dizer que o incentro está relacionado com as bissetrizes de um triângulo, ou seja, para se obter o incentro, é necessário que se determine, antes, as bissetrizes do triângulo.

Octógono Regular e a circunferência dividida em oito partes iguais.

by Roberto M.

Como é que se constrói um octógono regular? Qual é o método utilizado para se dividir uma circunferência em oito partes iguais? Como se faz para inscrever um octógono regular numa circunferência?

Quando dividimos uma circunferência em oito partes iguais, os oito pontos que achamos são também os vértices do octógono inscrito na circunferência.

Já aprendemos em outros artigos, como traçar retas perpendiculares e, também, como traçar a bissetriz de um ângulo.

Construção do Heptágono regular. Dividindo a circunferência em sete partes iguais.

by Roberto M.

Como se faz para dividir uma circunferência em sete partes iguais?

Qual é o método que se utiliza para inscrever um heptágono numa circunferência?

Como se faz para construir um heptágono regular?

Já vimos no artigo “Polígono. Classificação e Nomenclatura” que heptágono é um polígono de sete lados. Vimos também, que heptágono regular é o polígono de sete lados que tem todos os lados iguais.

Circunferência dividida em seis partes iguais. Construção do Hexágono regular.

by Roberto M.

Como se faz para dividir uma circunferência em seis partes iguais?

Qual é o método que se utiliza para inscrever um hexágono numa circunferência?

Como se faz para construir um hexágono regular?

Já vimos no artigo “Polígono. Classificação e Nomenclatura” que hexágono é um polígono de seis lados. Vimos também, que hexágono regular é o polígono de seis lados que tem todos os lados iguais.

Conceito de ângulo e de sua medida.

by Roberto M.

Qual é o conceito de ângulo? O que é um ângulo? Qual é a unidade de medida de um ângulo?

A partir das noções fundamentais da geometria, onde tivemos a ideia de ponto, reta e plano, pudemos avançar nos conceitos e entender o que é segmento de reta e semi-reta.

Sabendo o que é semi-reta, podemos conceituar ângulo da seguinte maneira:

Ângulo é a abertura formada por duas semi-retas distintas de mesma origem.

Por que a circunferência mede 360 graus?

by Roberto M.

Vimos em outros artigos os conceitos de ponto, reta e plano. 
Vimos também o que vem a ser segmento de reta e semi-reta.

Com a definição de distância entre dois pontos, pudemos também definir uma circunferência.

Bem, agora que já sabemos o que é uma circunferência, podemos avançar um pouco e descobrir por que ela mede 360°.