quinta-feira, 26 de janeiro de 2012

Divisor e Divisibilidade nos números naturais.

Relembre o conceito de divisibilidade de um número natural e saiba quando um número é divisível por outro ou quais são os divisores de um número qualquer.

Divisibilidade e Divisores dos números naturais
by Roberto M.
O que é divisibilidade? O que significa um número ser divisível por outro? O que são divisores de um número? Como saber se um número é divisível por 2, ou por 3, ou por 5 sem efetuar a divisão?
Se considerarmos que no nosso universo só existem os números naturais, quando fizermos a divisão de um número natural por outro número natural, teremos duas possibilidades: ou a divisão dará exata ou sobrará resto.


Por exemplo, se eu tiver 14 laranjas para dividir igualmente entre 3 pessoas, vai dar 4 laranjas para cada pessoa e sobrar 2 de resto. Agora, se eu tiver 15 laranjas para dividir igualmente pelas mesmas 3 pessoas, vai dar, exatamente, 5 laranjas para cada uma e não sobrará resto nenhum.

Divisibilidade dos números naturais


Divisibilidade

Analisando o exemplo acima, podemos ver que ao dividir o número 15 pelo número 3, dá um resultado exato (5), não sobra resto algum. Por ter acontecido isso, dizemos que o 15 é divisível por 3.

Já, ao dividir o número 14 pelo número 3, o resultado é 4, mas sobra resto 2. Por ter acontecido isso, dizemos que o 14 não é divisível por 3.

Dessa maneira, podemos generalizar e dizer que:


Um número natural a é divisível por um número natural b, não nulo (diferente de zero), quando a divisão de a por b é exata, ou seja, dá resto igual a zero.

Agora que sabemos o que é divisibilidade, vamos dar algumas regrinhas interessantes para saber se um número é divisível por 2, ou por 3, ou por 5, sem efetuar a divisão.

1-Um número é divisível por 2 se esse número for par.
Ex: 432; 626; 24 são divisíveis por 2, pois, são pares.

2-Um número é divisível por 3 se a soma dos algarismos desse número for divisível por 3
Ex: 1212 é divisível por 3, pois, 1+2+1+2=6 e 6 é divisível por 3

3-Um número é divisível por 5 se esse número terminar em 0 ou 5
Ex: 125 e 580 são divisíveis por 5, pois, o primeiro termina em 5 e o segundo termina em 0

Existem, também, regras análogas para saber se um número é divisível por 4, ou por 6, ou por 9 sem fazer a divisão.

4-Um número é divisível por 4 se os seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.
Ex: 1216 é divisível por 4, pois, 16 é divisível por 4

5-Um número é divisível por 6 se ele for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo
Ex: 432 é divisível por 6, pois, sendo par, é divisível por 2 e como 4+3+2=9 e 9 é divisível por 3 ele também é divisível por 3

6-Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for divisível por 9
Ex: 1233 é divisível por 9, pois, 1+2+3+3=9 e 9 é divisível por 9

Divisor de um Número

Vamos observar as seguintes divisões abaixo:

Divisores dos números naturais


Em todas elas, o resto é zero.
Portanto podemos dizer que o número 18 é divisível por 1, por 2, por 3, por 6, por 9 e por 18.
Por esse motivo, dizemos que o 1, o 2, o 3, o 6, o 9 e o 18 são divisores (ou fatores) do número 18.

Dessa maneira, podemos generalizar e dizer que:

Um número natural não nulo b é divisor do número natural a quando a é divisível por b.

Voltando ao exemplo, podemos afirmar que os números 1; 2; 3; 6; 9; 18, formam o conjunto dos divisores do número 18 e assim generalizar que:

O conjunto dos divisores do número natural a é o conjunto formado por todos os números naturais que são divisores de a


Como observações final podemos dizer:
- Qualquer número natural é divisível por 1, portanto, o número 1 é divisor de todos os números naturais.
- Qualquer número natural é divisível por ele mesmo, portanto, qualquer número tem ele mesmo como divisor.

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