quinta-feira, 21 de março de 2013

Posições relativas de duas retas: concorrentes, paralelas, coplanares, reversas.

Quanto às posições relativas, duas retas podem ser: coplanares ou reversas, concorrentes ou paralelas, paralelas coincidentes ou paralelas distintas. Veja, nesse artigo, o que significa cada uma dessas definições.

Posições relativas de duas retas no espaço.
by Roberto M.
O que são retas coplanares? O que são retas concorrentes? O que são retas paralelas? O que são retas reversas?
Já vimos, anteriormente, as noções de ponto, reta e plano. Já sabemos, também, o que é um segmento de reta, ou uma semi-reta. Quem quiser relembrar, pode clicar nesses links.
Hoje vamos introduzir mais alguns conceitos e definições e falar sobre as posições relativas que duas retas podem ocupar no espaço.

Sabemos que um plano é formado por infinitos pontos e que uma reta também é um conjunto de infinitos pontos. Por isso, é fácil perceber que um plano também é formado por infinitas retas.
Para começarmos a entender as posições relativas de duas retas quaisquer, vamos, primeiramente, fazer o desenho esquemático de um plano a :

Desenho esquemático de um plano.

Agora vamos esquematizar algumas retas contidas nesse plano e outras que não estão contidas nesse plano.

Plano com retas contidas e não contidas nele.

Como podemos perceber, as retas r, s e t estão contidas num mesmo plano a e as retas w e k não estão contidas num mesmo plano a.

RETAS COPLANARES

Como as retas r, s e t estão contidas num mesmo plano a  dizemos que elas são coplanares e definimos:

“Duas ou mais retas de um mesmo plano são retas coplanares”

Desenho de Retas Coplanares.


RETAS CONCORRENTES

Se observarmos, agora, as retas coplanares r, s e t verificaremos que as retas r e s e as retas t e s se cruzam em um único ponto. Dizemos que r e s ou t e s são retas concorrentes e definimos:

“Duas retas que possuem um único ponto comum são retas concorrentes.”

Desenho de Retas Concorrentes.


RETAS PARALELAS DISTINTAS

Observemos, agora, as retas coplanares r e t. Verificamos que elas não têm, e nunca terão, nenhum ponto em comum, ou seja, elas não se cruzam. Dizemos que elas são paralelas distintas e definimos:

“Duas retas de um mesmo plano que não têm nenhum ponto em comum são retas paralelas distintas”.

Desenho de Retas Paralelas Distintas.


RETAS PARALELAS COINCIDENTES

Pode acontecer que duas retas coplanares fiquem uma em cima da outra com todos os pontos em comum, como no caso das retas r e z da figura abaixo. Dizemos que elas são paralelas coincidentes e definimos:

“Duas retas de um mesmo plano que têm todos os seus pontos em comum são retas paralelas coincidentes”.

Desenho de Retas Paralelas Coincidentes.


RETAS REVERSAS

Vamos analisar, agora, as retas k e r da figura abaixo. Verificamos que elas não estão no mesmo plano e, se observarmos bem, veremos que nunca serão coplanares, pois não há jeito de elas pertencerem a um único plano. Dizemos que essas retas são reversas e definimos:

“Duas retas serão reversas sempre que não forem coplanares, ou seja, não existirem planos que as contenham simultaneamente”.

Desenho de Retas Reversas.


OBSERVAÇÕES

Podemos observar, na figura abaixo, que as retas w e r não são coplanares em relação ao plano a, mas, são coplanares em relação ao plano b , portanto, w e r são retas coplanares, pois existe um plano que as contém simultaneamente.

Já as retas k e w, não pertencem, simultaneamente, nem ao plano a nem ao plano b  e, também, não há nenhum plano que consiga conter as duas retas ao mesmo tempo, portanto, elas são reversas.

Esquema de retas Coplanares e Reversas.


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