segunda-feira, 28 de maio de 2012

Mínimo Múltiplo Comum. Aprenda a calcular MMC.

Mínimo Múltiplo Comum. Como calcular o MMC. Cálculo do mínimo pela Regra da decomposição simultânea. MMC pelo método da fatoração. Aprenda a calcular o MMC de dois ou mais números.

Cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc) pela regra da decomposição simultânea.
by Roberto M.
O que é mmc? Como fazemos para calcular o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números?
Em outros artigos já aprendemos o que é divisibilidade e divisor de um número natural.
Vimos também o conceito de múltiplos e como obtemos os múltiplos de um número.
Assim, relembrando, “sempre que um número natural A for divisível por um número natural B não nulo, dizemos que A é múltiplo de B”.

Podemos dizer também, que todo número natural B, não nulo, tem um conjunto de múltiplos M(B) formado por todos os números naturais múltiplos de B que pode ser indicado assim:

M(B) = {0, B, 2.B, 3.B, 4.B, 5.B, 6.B, 7.B, 8.B, 9.B, 10.B, ...}

MMC DE DOIS NÚMEROS NATURAIS

Se pegarmos os conjuntos de múltiplos de dois números naturais quaisquer, podemos compará-los e verificar quais são os múltiplos comuns aos dois números, ou seja, aqueles múltiplos que estão ao mesmo tempo nos dois conjuntos. 
Por exemplo, vamos considerar os números 4 e 6 e os seus respectivos conjuntos de múltiplos:
 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, ...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ...}

Se fizermos a intersecção dos dois conjuntos, ou seja, verificarmos os elementos comuns aos dois conjuntos, podemos dizer que esses elementos serão múltiplos, ao mesmo tempo, de 4 e 6. Eles serão os múltiplos comuns de 4 e 6.

MC(4,6) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...}

Analisando esse conjunto dos múltiplos comuns de 4 e 6, podemos verificar qual é o menor deles. Excluindo-se o zero, que é múltiplo de qualquer número natural, descobrimos que o número 12 é o menor múltiplo comum de 4 e 6. 
Por isso dizemos que 12 é o mínimo múltiplo comum de 4 e 6 e indicamos assim:

mmc(4, 6) = 12 (leia-se: mmc de 4 e 6 é 12).

Generalizando teremos:
O mínimo múltiplo comum de dois números naturais não nulos A e B é o menor número que é múltiplo ao mesmo tempo de A e de B, excluindo-se o zero que é múltiplo de qualquer número natural.

CÁLCULO DE MMC – Regra da Decomposição Simultânea

Vamos mostrar uma regra prática para calcular o mmc de dois ou mais números. Para isso, iremos apresentá-la na forma de um exemplo. Vamos calcular o mmc dos números 18, 25 e 30. 
Sigamos os passos:

1) Escrevemos os números que queremos calcular o mmc, separados por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado do último.

Regra prática para cálculo do mínimo múltiplo comum. Colocando os números dados.

2) No outro lado do traço, colocamos o menor dos fatores primos dos números dados.

Colocando o menor fator primo dos números dados. Início do cálculo do MMC pela regra da decomposição simultânea

3) Sob cada número divisível pelo fator colocado no outro lado, anotamos o quociente da divisão. Os números não divisíveis pelo fator do outro lado devem ser repetidos.

Quociente dos números dados pelo primeiro fator primo. MMC pela regra da decomposição simultânea

4) Agora, no outro lado do traço, ao lado dos quocientes encontrados, colocamos o menor dos fatores primos desses quocientes.

Colocando o segundo fator primo para o cálculo do MMC pela decomposição simultânea.

5) Sob cada número divisível pelo novo fator colocado no outro lado do traço, anotamos o quociente da divisão. Os números não divisíveis pelo fator do outro lado devem ser repetidos.

Colocando o segundo quociente do método da decomposição simultânea para cálculo do mínimo múltiplo comum.

6) Prosseguimos com este processo até chegar ao número 1 sob cada número dado.

Completando o método da decomposição simultânea para cálculo do MMC até todos os quocientes serem 1

7) O mmc será o produto dos fatores primos colocados no outro lado

mmc (18, 25, 30) = 2 x 32 x 52 = 2 x 9 x 25 = 450

MMC PELO MÉTODO DA FATORAÇÃO

Existe outra maneira de calcular o MMC de dois ou mais números
Essa maneira consiste em utilizar a decomposição de cada um desses números em fatores primos. Quem quiser relembrar como fazer fatoração, veja o artigo “Fatoração de um número natural. “.

Vamos mostrar o modo de calcular o mmc por fatoração através de um exemplo. 
Iremos determinar o mmc dos números 240 e 252 seguindo os passos:

1) Decompor, separadamente, os números em fatores primos:

240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 24 x 3 x 5
252 = 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 22 x 32 x 7

2) Verificar os fatores primos comuns e não comuns a todos os números. 
No nosso exemplo temos os seguintes fatores:

24, 22, 32, 3, 5, 7.

3) O mmc dos números dados é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomando-se sempre, cada fator, com o maior expoente apresentado nas fatorações.

mmc(240,252) = 24 x 32 x 5 x 7 = 5040

4) Generalizando dizemos:

O mmc, pelo método da fatoração, é exatamente, o produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomando cada um com o maior expoente que apresenta na fatoração.

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