segunda-feira, 16 de abril de 2012

Reconhecendo Números Primos

Você sabe reconhecer quando um número é primo? Conheça o Crivo de Eratóstenes e a Regra geral para reconhecimento de números primos. Veja Exemplos de verificação.

Como reconhecer números primos. Crivo de Eratóstenes e Regra Geral
by Roberto M.
Como fazer para descobrir se um número qualquer é primo ou não? O que é crivo de Eratóstenes?
Já sabemos que todo número natural é divisível, pelo menos, por 1 e por ele mesmo.
Sabemos também que, número primo é aquele divisível, apenas, por 1 e por ele mesmo.
Os primeiros números primos, menores que 15, por exemplo, são fáceis de reconhecer:
2, 3, 5, 7, 11 e 13

Há uma maneira simples, que pode ser usada, para encontrar números primos. É pelo chamado Crivo de Eratóstenes, concebido por Ératóstenes, um matemático grego que viveu entre os anos 275 e 194 a. C. 

Vamos ver, por exemplo, como encontrar os números primos menores ou iguais a 31:

CRIVO DE ERATÓSTENES

1) Primeiramente, escrevemos os números de 2 a 31;
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

2) Agora sublinhamos o número 2 e riscamos todos os outros números divisíveis por dois, ou seja, riscamos os demais números pares;
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

3) Em seguida, sublinhamos o primeiro número não riscado, que é o 3, e riscamos todos os outros números divisíveis por 3.
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

4) Sublinhamos o primeiro número não riscado, que é o 5, e riscamos todos os outros números divisíveis por 5;
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

5) Prosseguindo dessa maneira até o final, os números sublinhados são números primos, pois não são divisíveis por nenhum dos seus antecessores;
02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31


Logo, os números naturais primos menores ou iguais a 31 são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Entretanto, há infinitos números primos. Fica difícil fazer esse quadro para números grandes.
Então, como fazer para reconhecer se um número qualquer é primo ou composto?

REGRA DE RECONHECIMENTO

Para descobrirmos se um número é primo ou composto, basta apenas verificar se ele é divisível por um dos números primos anteriores a ele.
Para isso, efetuamos divisões sucessivas do número dado pelos números primos anteriores (2, 3, 5, 7, 11, 13,...) até conseguirmos uma das duas situações seguintes:

1) Obtemos um resto zero: neste caso o número não é primo, pois é divisível por outro número que não é nem 1, nem ele mesmo.
2) Obtemos um quociente menor ou igual ao divisor: neste caso o número é primo. (Note que não precisamos fazer as divisões indefinidamente, basta conseguir um quociente menor ou igual ao divisor, sem conseguir resto zero.).

Agora que temos a regra, vamos entender melhor fazendo dois exemplos:

EXEMPLOS

1) Vamos verificar se o número 197 é primo
Pelas regras que vimos no artigo de divisibilidade, já sabemos que 197 não é divisível por 2 (não é par), por 3 (a soma de seus algarismos não é divisível por 3) e nem por 5 (não termina pelos algarismos 0 ou 5).
Vejamos então, se é divisível por 7, 11, 13, 17, 19, etc.

197 : 7 = 28 com resto 1 => resto diferente de zero e quociente 28 maior que o divisor 7, então continuamos;

197 : 11 = 17 com resto 10 => resto diferente de zero e quociente 17 maior que o divisor 11, então continuamos;

197 : 13 = 15 com resto 2 => resto diferente de zero e quociente 15 maior que o divisor 13, então continuamos;

197 : 17 = 11 com resto 10 => resto diferente de zero e quociente 11 menor que o divisor 17. Paramos, o número é primo, pois, não encontramos nenhum resto igual a zero até obter um quociente menor que o divisor.

2) Vamos verificar se o número 253 é primo
Como no exemplo acima, já sabemos que 253 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5.
Vejamos se é divisível por 7, 11, 13, 17, 19, etc.

253 : 7 = 36 com resto 1 => resto diferente de zero e quociente 36 maior que o divisor 7, então continuamos;

253 : 11 = 23 com resto zero => Resto igual a zero. Paramos, o número não é primo, pois, como é divisível por 11, além de ser divisível por 1 e por ele mesmo, é um número composto.

CONCLUSÕES ÓBVIAS

1) Nenhum número par, exceto o 2, é primo;
2) Nenhum número terminado em 5, exceto o 5, é primo;
3) Nenhum número cuja soma dos algarismos dê um número divisível por 3, exceto o 3, é primo.

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2 comentários:

  1. Excelente explicação Telma. Sucinto e direto. Não complica nem dar voltas. Parabéns, mais um mistérios desfeito.

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  2. Esse tópico é foco de pesquisas em âmbito pós acadêmico !

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