Ângulos Opostos pelo Vértice e sua propriedade

by Roberto M.

A partir das noções fundamentais da geometria, onde tivemos a ideia de ponto, reta e plano, pudemos avançar nos conceitos e entender o que são segmento de reta e semirreta.

Sabendo o que é semirreta, pudemos entender o “Conceito de ângulo”, qual seja: “Ângulo é a abertura formada por duas semirretas distintas de mesma origem.”

Se relermos a postagem “Posições relativas de duas retas” recordaremos que duas retas coplanares e que se cruzam em um único ponto são chamadas retas concorrentes.

Relembrados todos esses conceitos, vamos observar atentamente a figura abaixo:

DEFINIÇÃO DE ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Podemos verificar que:

1) a reta r (AD) e a reta s (BC) são concorrentes.

2) as duas retas se cruzam no ponto O.

3) OA e OD são semirretas opostas.

4) OB e OC são semirretas opostas.

5) As retas r e s determinam quatro ângulos: a (DÔC), b (AÔB),  g (AÔC) e d (BÔD).

6) O ponto O é o vértice dos quatro ângulos.

7) Os ângulos a (DÔC) e b (AÔB) são chamados opostos pelo vértice.

8) Os ângulos g (AÔC) e d (BÔD) são chamados opostos pelo vértice.

Dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.) quando os lados

de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

PROPRIEDADE DOS ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Agora, devemos antes lembrar o que são ângulos suplementares ( Leia: Ângulos. Classificação e Nomenclatura.).

Em seguida, observamos, na figura acima, os ângulos de medidas a e b, que são opostos pelo vértice, e o ângulo de medida g.

Podemos notar que os ângulos a e g são suplementares e que os ângulos b e g são suplementares.

Então, a é o suplemento de g, assim como b é o suplemento de g. Logo, a = b.

Se a = b, concluímos que ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais.

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes.

CONCLUSÃO

1) Os ângulos a e b são opostos pelo vértice => a = b

2) Os ângulos  g e d são opostos pelo vértice => g  = d

Além disso:

3) Os ângulos a e g são adjacentes e suplementares, e somam 180°.

4) Os ângulos b e g são adjacentes e suplementares, e somam 180°.

5) Os ângulos a e d são adjacentes e suplementares, e somam 180°.

6) Os ângulos b e d são adjacentes e suplementares, e somam 180°.

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