O que são Números Primos entre Si ? Aprenda a identificar números coprimos.

by Roberto M. 

Já tivemos oportunidade de, em outras postagens, aprender quando um número é divisível por outro ou quando um número é divisor de outro número. 

Quem quiser relembrar é só reler o artigo: “Divisor e Divisibilidade nos números naturais.”

A partir disso, tivemos uma noção sobre números primos (Veja:”Números Primos e Números Compostos. Aprenda a diferenciá-los.”).

Aprendemos a reconhecer e a descobrir números primos (Veja: “Reconhecendo números primos.”).

Em seguida aprendemos a decompor um número em fatores primos (Fatoração de um número natural.) e aprendemos a calcular o MDC (Máximo divisor comum. Aprendendo a calcular MDC.).

De posse de todos esses conceitos, podemos agora introduzir o conceito de números primos entre si, também conhecidos como coprimos.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Vamos partir de um exemplo para depois generalizar.

Tomemos os números 15 e 16.

Tomando agora o conjunto dos divisores de cada um deles teremos:

Div(15) = {1, 3, 5, 15}        Div(16) = {1, 2, 4, 8, 16}

Note que 15 e 16 não têm nenhum divisor comum a menos do 1, ou seja, o MDC (máximo divisor comum) deles é o 1.

Utilizando-nos da linguagem de operações com conjuntos (Veja: Fazendo Operações com Conjuntos.) podemos escrever que:

Div(15) ⋂ Div(16) = {1}     Logo: MDC(15,16) =1

Leia-se: A intersecção do conjunto dos divisores de 15 com o conjunto dos divisores de 16 é 1. Logo o máximo divisor comum  de 15 e 16 é o número 1.

Observe também que, como o MDC deles é 1, 15 e 16, que não são números primos, não têm nenhum fator primo em comum.

Devido a tudo isso, os números 15 e 16 são primos entre si.

Sempre que isso ocorrer, os números serão chamados de primos entre si, ou coprimos.

Podemos agora, então , generalizar a definição:

Números primos entre si, ou coprimos, são aqueles cujo máximo divisor comum é 1, ou seja, não têm nenhum divisor comum a menos do 1, ou ainda, não têm nenhum fator primo em comum.

COMO VERIFICAR SE DOIS NÚMEROS SÃO COPRIMOS

1) Uma maneira de verificar se dois números são primos entre si é calcular o MDC deles.

Se o MDC for 1 eles serão primos entre si, caso contrário eles não serão primos entre si.

Exemplos: (relembre as várias maneiras de calcular MDC clicando no link)

a) MDC(9,10) = 1 , logo 9 e 10 são primos entre si.

b) MDC(9,12) = 3 , logo 9 e 12 não são primos entre si.

2) Outra maneira de verificar se dois números são primos entre si é decompondo cada um deles em fatores primos. 

Se não existirem fatores primos comuns eles serão primos entre si, caso contrário eles não serão primos entre si.

Exemplos: (relembre como decompor um número em fatores primos clicando no link).

a) 15 = 3 x 5           22 = 2 x 11         Logo, 15 e 22 são primos entre si pois não têm                                                                           fatores primos comuns.

b) 15 = 3 x 5           20 = 2 x 2 x 5     Logo, 15 e 20 não são primos entre si pois têm o                                                                       fator primo 5 em comum.

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