terça-feira, 9 de outubro de 2012

Operações com números não exatos e envolvendo algarismos significativos.

Regras para executar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números não exatos, ou seja, envolvendo algarismos significativos.

Operações com números não exatos, algarismos significativos.
by Roberto M.
Quais as regras para fazer operações com algarismos significativos? Como dar o resultado de uma operação com números não exatos?
Em um artigo anterior, já vimos os conceitos de números exatos, não exatos e algarismos significativos. Leia o artigo para relembrar.
Por mais precisa que seja uma medida, ela não é verdadeiramente exata, pois todo instrumento de medida tem um erro associado a ele.

A operação correta com algarismos significativos exige o conhecimento da teoria de erros. Entretanto, podemos minorar o acúmulo de erros e evitar precisões que não correspondam à realidade, com algumas regras práticas.
Por isso, hoje vamos aprender a fazer as operações matemáticas quando estão envolvidos números não exatos.

Existem certas regrinhas para que seja mantida a coerência da precisão e da incerteza dos números.
Ao se fazer as operações com números não exatos, caso não se siga essas regras, o resultado poderá sair desvirtuado, ficando com uma maior precisão ou uma menor incerteza do que deveria ter devido às condições das medições.

ADIÇÃO DE DOIS NÚMEROS NÃO EXATOS

Quando vamos fazer a soma de dois números não exatos, com quantidade de algarismos significativos diferentes e com precisões diferentes, a regra principal é:

“O resultado deve manter a precisão da parcela de menor precisão”

Vamos a um exemplo para explicar mais detalhadamente.
Façamos a soma de duas grandezas não exatas medidas em duas balanças com diferentes precisões:

541,23 + 4,379

1) Como podemos notar, o primeiro número tem cincos algarismos significativos, sendo que seu último algarismo significativo, o de menor precisão, está na casa dos centésimos (duas casas depois da vírgula).

2) O segundo número, tem quatro algarismos significativos sendo que seu ultimo algarismo significativo, o de menor precisão, está na casa dos milésimos (três casas depois da vírgula).

3) Pela regra acima, o resultado deverá ter a precisão do número de menor precisão, ou seja, a precisão deverá estar na casa dos centésimos e seu último algarismo significativo deverá estar na casa dos centésimos. 
Simplificadamente falando, 

o resultado deverá ter o mesmo número de casas decimais que a parcela de menor número de casas decimais”.

4) Para obedecer a essas regras devemos proceder da seguinte maneira:
     a) - Façamos a soma normalmente como se fossem exatos:
541,23 + 4,379 = 545,609

     b) - O resultado deu um número de seis algarismos significativos e o último está na casa dos milésimos (três casas depois da vírgula).
Entretanto, queremos que o resultado tenha a precisão na casa dos centésimos (duas casas depois da vírgula).

     c) - Então, fazemos o arredondamento desse número para que ele fique com apenas duas casas decimais, e o resultado será:
541,23 + 4,379 = 545,61

     d) - Se quiser aprender a fazer os arredondamentos corretamente, leia o artigo “Como fazer arredondamento da numeração decimal. “. Lá eu explico detalhadamente as várias situações dos arredondamentos.

SUBTRAÇÃO DE DOIS NÚMEROS NÃO EXATOS

Para fazer a subtração de dois números não exatos, devemos proceder exatamente da mesma maneira que na adição.

“O resultado deverá ter a mesma precisão do operando de menor precisão”

Vamos ver um exemplo:

8,765 - 0,2

1) Temos o primeiro número com quatro algarismos significativos e precisão na casa dos milésimos (três algarismos depois da vírgula); temos o segundo número com um algarismo significativo e precisão na casa dos décimos (uma casa depois da vírgula).

2) Portanto, o resultado deverá ter o ultimo algarismo significativo na casa dos décimos, ou seja, a precisão deverá ter uma casa depois da vírgula.

3) Fazemos a subtração normalmente como se fossem números exatos

8,765 - 0,2 = 8,565

4) Agora temos que arredondar o resultado, seguindo as regras do “Como fazer arredondamento da numeração decimal. “, para deixá-lo com apenas uma casa depois da vírgula.

8,765 - 0,2 = 8,6

MULTIPLICAÇÃO DE DOIS NÚMEROS NÃO EXATOS

Quando vamos fazer a multiplicação de dois números não exatos, com quantidade de algarismos significativos diferentes e com precisões diferentes, a regra principal muda um pouco. No resultado, ao invés de utilizarmos como referência o número com menor precisão, utilizaremos o número com menor quantidade de algarismos significativos. Vejam a regra:

“O resultado deve manter o mesmo número de algarismos significativos que o fator com menor número de algarismos significativos”


Vamos a dois exemplos para esclarecer:

Primeiro Exemplo:    3,0845 x 1,03

1) O primeiro número tem cinco algarismos significativos.

2) O segundo número tem três algarismos significativos.

3) Pela regra acima, o resultado deverá ter o mesmo número de algarismos significativos que o fator de menor número de algarismos significativos. 
Neste caso o resultado deverá ter três algarismos significativos.

4) Fazemos a multiplicação normalmente:

3, 0845 x 1,03 = 3,177035

5) Arredondamos o número (seguindo as regras de arredondamento) para que ele fique com três algarismos significativos.

3,0845 x 1,03 = 3,18


Segundo Exemplo:    50,03 x 3,1


1) O primeiro número tem quatro algarismos significativos.

2) O segundo número tem dois algarismos significativos.

3) Pela regra acima, o resultado deverá ter dois algarismos significativos.

4) Fazemos a multiplicação normalmente:
50,03 x 3,1 = 155,093

5) Para expressá-lo com os dois algarismos significativos ditados pela regra, precisaremos utilizar a notação científica:
50,03 x 3,1 = 155,093 = 1,5 x 103

DIVISÃO DE DOIS NÚMEROS NÃO EXATOS

Para fazer a divisão de dois números não exatos, devemos proceder exatamente da mesma maneira que na multiplicação.

“O resultado deve manter o mesmo número de algarismos significativos que o operando com menor número de algarismos significativos”.


Exemplos:

14,56 : 2,0 = 7,28 = 7,3 
(Resultado com dois algarismos significativos devido ao 2,0)

123,42 : 3,00 = 41,14 = 41,1 ou 4,11 x 101  ou ainda 0,411 x 102
(Resultado com três algarismos significativos devido ao 3,00)

OPERAÇÕES CONSECUTIVAS COM NÚMEROS NÃO EXATOS

Quando houver a necessidade de se fazer operações consecutivas com números não exatos, devemos sempre utilizar as regras, para cada operação separadamente.
Numa primeira operação, utilizamos as regras, achamos o resultado e utilizamos esse resultado, já adaptado, para executar a operação seguinte.

Vamos ver um exemplo para entender melhor:
Suponhamos que temos que fazer as seguintes operações:

12,35 x 4,01 + 0,66

1) A primeira operação a se fazer é a multiplicação:

12,35 x 4,01

2) Como vimos anteriormente, o resultado dessa multiplicação deverá ter três algarismos significativos (devido ao 4,01).

12,35 x 4,01 = 49,5235 = 49,5

3) Obtido esse resultado, agora temos que fazer a soma.

49,5 + 0,66

4) Sabemos que no caso da soma, o resultado deverá apresentar o mesmo número de casas decimais que a parcela de menor número de casas decimais, portanto nesse caso deveremos ter um resultado com uma casa decimal (devido ao 49,5).

49,5 + 0,66 = 50,16 = 50,2

Logo, o resultado das operações consecutivas com números não exatos, utilizando-se as regras dos algarismos significativos será: 50,2.

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