terça-feira, 23 de agosto de 2016

Visualização e composição de áreas planas. Exercício de geometria envolvendo área de triângulos.

Vamos resolver um problema de geometria plana utilizando o conceito de área de triângulos. Comparando bases e alturas de vários triângulos determinaremos a área do quadrilátero solicitada pelo enunciado.

Ilustração mostrando dados de um exercício de geometria que contempla a composição de áreas de triângulos para determinar a área de um quadrilátero
by Roberto M.
A pedido de um leitor, resolvi fazer essa postagem mostrando a resolução desse exercício de geometria plana.
É um exercício interessante, bem formulado, mas que envolve apenas o conceito de áreas de triângulos.
Parece difícil mas não é, basta apenas lembrar como calcular a área de um triângulo e, depois, comparar as áreas de vários triângulos para achar a solução.

Vou tentar fazer um passo a passo bem detalhado para mostrar todos os pontos do raciocínio da solução.
Primeiramente vamos ao enunciado do exercício, para depois mostrarmos a resolução.

ENUNCIADO

Na figura a seguir o segmento BC é paralelo à reta que contém os pontos A, D e E. Sabe-se que os pontos F e G dividem o segmento AC em três segmentos de mesma medida e que o segmento DE possui o dobro da medida de BCSe a área do triângulo BFG mede 3 cm², então determine a área do quadrilátero DEGF.

Figura do enunciado do exercício que pede para determinar a área de um quadrilátero a partir da composição de áreas de triângulos


RESOLUÇÃO

Olhando com atenção para a figura, notaremos que a a área do quadrilátero DEGF que queremos é, exatamente, a área do triângulo BDE menos a área do triângulo BFG.
Como a área do triângulo BFG nos é dada pelo enunciado, se descobrirmos a área do triângulo BDE teremos determinado a nossa solução pretendida.

Para isso, primeiramente, vamos nos fixar no triângulo ABC.
O triângulo ABC é formado por três triângulos: o BAF, o BFG e o BCG

Se lembrarmos que a área de um triângulo é dada pela fórmula:


e notarmos que esses três triângulos têm a mesma altura relativa ao vértice B e a mesma medida de base (pois o enunciado nos diz que AF = FG = GC); deduziremos que a área dos três triângulos são iguais.

Ora, o enunciado nos diz que a área do triângulo BFG mede 3 cm2  logo, a área do triângulo BAF mede 3 cm2  e a área do triângulo BCG mede 3 cm2 .

Portanto, a área do triângulo ABC mede 9 cm2.

Se olharmos, agora, para o triângulo BDE, perceberemos que sua altura relativa à base DE é a mesma que a altura do do triângulo ABC relativa à base BC (pois DE e BC são paralelas).
Como o enunciado nos diz que DE tem o dobro da medida de BC, podemos concluir que o triângulo BDE tem o dobro da área do triângulo ABC.

Portanto, a área do triângulo BDE mede 18 cm2.

Como:
Área do quadrilátero DEGF = Área do triângulo BDE – Área do triângulo BFG

Temos:
Área do quadrilátero DEGF = 18 cm2 – 3 cm2 

Área do quadrilátero DEGF =  15 cm2

que é a solução que procurávamos.


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