Conjunto dos Números Inteiros. O conjunto Z.

by Roberto M.

Da necessidade que o ser humano tinha de contar objetos, surgiram os números naturais. Releia o artigo “Conjunto dos números naturais” e relembre.

Entretanto, nem todas as operações que necessitamos no nosso dia-a-dia, conseguimos efetuar somente com os números naturais.
Por exemplo: no verão as temperaturas chegam aos 30°C facilmente. No inverno elas começam a baixar; chegam aos 20°C, depois aos 10°C, aos 2°C e a 0°C.

Mas, e se esfriar mais? As temperaturas ficarão abaixo do 0°C.

Se estivermos numa temperatura de 2°C e acontecer de, por causa de uma frente fria poderosa, esfriar mais 5°C, como poderemos fazer essa conta (2°C – 5°C) apenas com os números naturais. Não dá não é verdade?

SURGEM OS NÚMEROS NEGATIVOS E POSITIVOS

Por situações como essa, foram inventados os números negativos, ou seja, os números menores que zero.

Assim, para retratar as temperaturas mais frias que 0°C dizemos: -1°C, -2°C, e assim por diante.

No nosso caso, onde a temperatura baixou 5°C a partir dos 2°C, dizemos que ela foi para -3°C.

Quantidades menores que zero, como -1, -2, -3, -4, -5, -6, etc., nós denominamos números negativos.

A partir da criação dos números negativos, qualquer diferença entre números naturais, mesmo quando precisamos subtrair um número menor de um maior, será sempre possível.

Desse modo, a nossa conta

2°C – 5°C

agora dá prá fazer, e o resultado é -3°C.

As quantidades maiores que zero, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., serão chamadas números positivos e poderão ou não ter um sinal + na frente.

Assim, 

+1 = 1             +2 = 2              +3 = 3, etc.

Isso tudo facilitou, até, a vida das nossas contas bancárias. Podemos representar as retiradas por números negativos e os depósitos por números positivos.

Exemplo:

1) Tenho R$ 50,00 e deposito mais R$ 20,00. Qual é meu saldo?

R$ 50,00 + R$ 20,00 = R$ 70,00

2) Tenho R$ 70,00 e retiro R$ 30,00. Com quanto fico?

R$ 70,00 – R$ 30,00 = R$ 40,00

3) Tenho R$ 40,00 e retiro R$ 50,00. Qual o meu saldo?

R$ 40,00 – R$ 50,00 = - R$ 10,00, ou seja estou com um saldo negativo.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)

Quando juntarmos todos os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. a todos os números que representam “quantidades inteiras a menos que zero” -1, -2, -3, -4, -5, -6, etc., teremos uma nova coleção de números aos quais denominamos Números Inteiros.

O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z:

Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Dentro do conjunto dos números inteiros temos:

- Os números inteiros positivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

- Os números inteiros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, ...

- O número zero que não é nem positivo nem negativo.

SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE Z

Vamos agora verificar alguns subconjuntos de Z e suas representações:

Conjunto	Símbolo	Representação
Números Inteiros Não nulos	Z*	Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
Números Inteiros Não negativos	Z+	Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Números Inteiros Positivos	Z*+	Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Números Inteiros Não positivos	Z-	Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Números Inteiros Negativos	Z*-	Z*- = {..., -7,  -6, -5, -4, -3 -2, -1}

Observações

1) Ao retirarmos o zero de um conjunto colocamos o símbolo * na sua indicação.

2) A expressão “inteiros não negativos” é diferente de “inteiros positivos”. Dos inteiros não negativos, além dos inteiros positivos, faz parte também o zero.

3) A expressão “inteiros não positivos” é diferente de “inteiros negativos”. Dos inteiros não positivos, além dos inteiros negativos, faz parte também o zero.

4) O conjunto dos inteiros não negativos (Z₊) é igual ao conjunto dos números naturais (IN).

Z₊ = IN

5) O conjunto dos naturais (IN) é um subconjunto dos inteiros (Z), ou seja, o conjunto IN está contido no conjunto Z.

IN C  Z

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