quinta-feira, 4 de outubro de 2012

Algarismos Significativos. Números exatos e não exatos.

Conceitos de números exatos, números não exatos e algarismos significativos. Como considerar a precisão e as incertezas da medidas nas ciências experimentais.

Algarismos Significativos, números exatos e não exatos, precisão e incerteza.
by Roberto M.
O que são números exatos e números não exatos? O que são algarismos significativos?
Na matemática, quando executamos a “ação de contar” o número de elementos de determinado conjunto de coisas, o resultado será sempre um número exato. Por exemplo, quando contamos três mexericas, sabemos exatamente quantas são.
Não importa como o escrevemos, se 3 ou 3,0 ou ainda 3,0000. Sempre será a mesma coisa. Isto é um número exato; sua precisão é infinita.


Já nas ciências experimentais, quando executamos a “ação de medir” alguma coisa, o resultado já não pode ser expresso tão exatamente, vai depender da precisão que desejamos exprimir e, também, do equipamento que utilizamos para fazer a medição.

PRECISÃO NAS MEDIÇÕES

Assim, se formos medir a massa de alguma coisa numa balança graduada de kg em kg, quando lermos o resultado 2 kg, não saberemos “exatamente” quanto “pesa” essa coisa, poderá variar de 1 a 3 kg.

Se a balança for graduada de 100g em 100g, a nossa precisão vai ser maior. Ao lermos 2,5 kg, também não saberemos exatamente a massa, mas a nossa dúvida agora, estará entre 2,4 Kg e 2,6 kg.

Seguindo na mesma linha de raciocínio, se a balança for graduada de grama em grama, ao lermos 2,500 kg, ainda não saberemos exatamente o “peso” da coisa medida, mas a precisão já estará entre 2,499 kg e 2,501 kg.

Dessa maneira, quanto maior for a precisão que desejamos exprimir em uma determinada medida, maior deverá ser o número de algarismos representados.
A esse tipo de representação chamamos “algarismos significativos”, sendo que o último algarismo da direita sempre será o algarismo da incerteza.

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E INCERTEZA

Nos nossos exemplos acima, podemos dizer:

Se medirmos na primeira balança (graduação de kg em kg), a medida (2 kg) terá um algarismo significativo que será incerto.

Na segunda balança (graduação de 100g em 100g), a medida (2,5 kg) terá dois algarismos significativos e a incerteza estará no algarismo 5.

Na terceira balança (graduação de g em g), a medida (2,500 kg) terá quatro algarismos significativos, estando a incerteza no ultimo zero à direita.

Podemos dizer que, “algarismos significativos são os algarismos necessários para expressar o resultado de um experimento com a mesma precisão da medição”.

REGRAS


Vamos a algumas regrinhas para determinar o número de algarismos significativos de uma medição qualquer:

1) A posição da vírgula não influi no número de algarismos significativos.

2) Todos os algarismos de 1 a 9 são algarismos significativos de uma determinada representação numérica. Para simplificar, irei chamá-los de “algarismos inteiros” no restante da explanação. 

3) Os algarismos “zero” serão ou não significativos dependendo de sua posição no número.

4) Os algarismos “zero” que estiverem depois da vírgula, serão sempre significativos. 

5) Os algarismos “zero” posicionados antes da vírgula, que estiverem a esquerda de algum algarismo inteiro, não serão considerados significativos se não aparecer nenhum algarismo inteiro antes dele.

6) Os algarismos “zero” posicionados antes da virgula que estiverem a direita de um algarismo inteiro e que não tenha nenhum outro algarismo inteiro após eles (nesse caso eles serão múltiplos de uma potencia de 10), poderão ou não ser considerados significativos dependendo da precisão que queiramos dar ao número. Para expressar a precisão desejada devemos usar a notação científica. Vamos tomar como exemplo o número 400:

- O número 400, se escrito dessa maneira,  será considerado com três algarismos significativos.

- Se quisermos expressá-lo com apenas um algarismo significativo podemos escrever: 
4 x 102.

- Se quisermos expressá-lo com dois algarismos significativos podemos escrever: 
4,0 x 102.

- Outra maneira de expressá-lo com três algarismos significativos seria:
4,00 x 102.


7) Na notação científica, o número de algarismos significativos é determinado exclusivamente pela “mantissa”. (Considerando um número representado na notação científica como sendo m x 10e, chamamos “mantissa” ao número m).

8) O último algarismo da direita será sempre o algarismo da incerteza. Ele ditará o erro da medição.


EXEMPLOS


MEDIÇÃO
NÚMERO DE
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
5
1
5,0
2
0,550
3
0,00005
1
45
2
0,5 x 103
1
0,54 x 1043
2
500
3
500,4
4

Portanto, ao lermos um número não exato de uma medição qualquer, seguindo as regras acima podemos facilmente interpretar o seu significado, ou seja, o número de algarismos significativos, sua precisão e o erro que está implícito nessa medida.

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