A Notação Fatorial - n! – O que é, e como calcular um fatorial - Só Faz Quem Sabe

sexta-feira, 20 de outubro de 2017

A Notação Fatorial - n! – O que é, e como calcular um fatorial

Quem já viu aquele ponto de exclamação acompanhando um número e tem dúvidas sobre o significado dessa notação? Descubra aqui tudo sobre fatorial: como se obtém o fatorial de um número, como se calcula um fatorial, como se simplifica fatoriais em frações, onde é utilizado um fatorial.

Notação fatorial - n! - Fatorial de n ou n fatorial
by Roberto M.
Quase tudo na matemática envolve símbolos. Existem símbolos para expressar a soma, a multiplicação, a divisão, a radiciação, o somatório e muito mais. Até mesmo os algarismos são símbolos que expressam quantidades.
Outro dia falamos sobre o símbolo dos somatórios definidos, a famosa notação sigma. Relembre vendo “A Notação Sigma. Um símbolo para os somatórios definidos.

Hoje vamos falar sobre a notação fatorial, um símbolo muito usado para facilitar a resolução dos problemas de contagens na Análise Combinatória, na Probabilidade e na Estatística.
É muito comum, nas disciplinas citadas acima, necessitarmos fazer a multiplicação de números naturais consecutivos a partir do 1 até um número qualquer definido.

Por exemplo, não é raro precisarmos do resultado da multiplicação de 1 até 5
1 x 2 x 3 x 4 x 5

ou de 1 até 10
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10

FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL ( n ) QUALQUER

A esse tipo de multiplicação, onde calculamos:

“O produto de todos os números naturais inferiores ou iguais a um certo número n dado”

Chamamos de:

Fatorial do número n

Assim indicado => n x (n – 1) x (n – 2) xx 3 x 2 x 1

Exemplos:
1 - Fatorial de 5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
2 - Fatorial de 10 = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3 628 800

Observações:
1 – Como podemos notar, o zero não pode entrar nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado.
2 – Desse modo, para que a teoria não tenha nenhuma falha, os matemáticos tiveram que definir o valor do fatorial de zero e o definiram como sendo:
fatorial de zero = 1

A NOTAÇÃO FATORIAL -  n!

Imagine, porém, que o nosso problema exigisse fazer a multiplicação dos 100 primeiros números naturais, ou seja, do fatorial de 100
Será que, para registrarmos a solução, precisaríamos escrever o correspondente produto com cem fatores? Isso seria cansativo e enfadonho.

Para evitar a necessidade de escrevermos todos os cem fatores ou mesmo expressões com uso de reticências, como, por exemplo, 100 x 99 x 98 x . . . x 2 x 1, o matemático francês Christian Kramp por volta do ano de 1808  decidiu adotar uma notação muito simples para produtos desse tipo:

Ele decidiu colocar um ponto de exclamação junto ao algarismo e representar o fatorial do número natural n da seguinte maneira:
n!  (leia-se n fatorial)

Exemplos:
a - 0! = 1
b - 1! = 1
c - 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
d - 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3 628 800
e - n! = n x (n – 1) x (n – 2) xx 3 x 2 x 1


DEFINIÇÃO FORMAL DE FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL

Após tudo que vimos acima, podemos definir o fatorial de um número natural qualquer do seguinte modo:

O fatorial de um número natural n, é o número denotado por n! e definido da seguinte forma:
- Se n = 0   então   n! = 1
- Se n > 0   então   n! = n x (n-1)!

Observação: Essa definição é também chamada de definição recursiva de fatorial, através da fórmula de recursão.

REPRESENTANDO UM FATORIAL A PARTIR DE UM FATORIAL MENOR

Como podemos notar, o desenvolvimento de um fatorial pode ser representado utilizando um outro fatorial menor.

Exemplos:
10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
10! = 10 x 9 x 7 x 6 x 5!
10! = 10 x 9 x 8!

Assim, podemos simplificar alguns cálculos, usando o artifício de não calcular totalmente o fatorial, mas sim uma parte dele e genericamente escrever:

(n+1)! = (n+1) x n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1
(n+1)! = (n+1) x n!

EXEMPLOS DE CÁLCULOS COM FATORIAIS

Exemplo 1

Exemplo de cálculo com fatorial. simplificação de fração com fatoriais

Exemplo 2


Exemplo de simplificação de fração com fatoriais

Exemplo 3

Operações não válidas nos cálculos de fatoriais: a soma de fatoriais não é igual ao fatorial da soma; a multiplicação de fatoriais não é igual ao fatorial da multiplicação.

Artigos Recomendados:





Nenhum comentário:

Postar um comentário

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...