Justificando e Comprovando as Propriedades dos Logarítmos.

by Roberto M.

No artigo “Logarítmos. Definição, conceitos e propriedades.” demos uma noção geral do que é, como surgiu e prá que serve logarítmo.

No final do artigo, listamos as nove propriedades que comandam todos os cálculos com logaritmos.

Lembrando que para entender logaritmo é necessário ter uma boa noção de potenciação (Veja: Potenciação ou Exponenciação. É fácil quando se entende.), vamos agora, a partir da definição, demonstrar essas propriedades.

Primeiramente relembremos a definição de logaritmo:

Dados dois números a e b, com a > 0 e b > 0 e b ≠ 1  temos que:

Se  log_b a = x  então  b^x = a

Agora vamos comprovar as propriedades, sempre atendendo às condições de existência:

Propriedade 1:

log_b b = 1

Comprova-se diretamente da definição, pois aplicando-a temos:

Se log_b b = 1 então b¹ = b, o que é a mais pura verdade.

Propriedade 2:

log_b 1 = 0

Da definição temos:

Se log_b 1= 0 então b⁰ = 1, verdade absoluta.

Propriedade 3:

log_b b^c = c

Pela definição:

Se log_b b^c = c então b^c = b^c, verdade.

Propriedade 4:

Observe o artifício:

Da definição, se b^x = a (1) então x = log_b a (2)

Se substituirmos x da igualdade (2), na igualdade (1) resultará 

Propriedade 5:

 

Usando a definição:

Se considerarmos log_b a = x  então b^x = a

Logo, como log_b a = log_b c temos que log_b c = x, então b^x = c

Se b^x = a e b^x = c, conclui-se que a = c

Propriedade 6:

Observe o artifício usando-se a definição:

Considerando: log_b (A . B) = r  ;  log_b A = s  ;  log_b B = t, teremos:

b^r = A . B  ;  b^s = A  ;  b^t = B

Portanto, b^r = b^s . b^t, ou ainda, b^r = b^s+t

Dessa última unicidade, garantida pelas condições de existência (b>0 e b≠1), temos que:

r = s + t, ou seja

Propriedade 7:

Demonstração análoga à anterior, considerando:

log_b (A / B) = r  ;  log_b A = s  ;  log_b B = t , teremos:

b^r = A / B  ;  b^s = A  ;  b^t = B

Portanto, b^r = b^s / b^t, ou ainda, b^r = b^{s - t}

Dessa última unicidade, garantida pelas condições de existência (b>0 e b≠1), temos que:

r = s – t, ou seja

Propriedade 8:

Considerando:

log_b A^α = r  e  log_b A = s, teremos:

b^r = A^α  e b^s = A

Portanto, b^r = (b^s)^α, ou ainda, b^r = b^{s . α}

Dessa última unicidade, garantida pelas condições de existência (b>0 e b≠1), temos que:

R = s . α, ou seja

Note, que essa igualdade, desde que observadas as condições de existência, é verificada para qualquer número real α e não apenas para os números naturais.

Propriedade 9: 

Se considerarmos:

log_p A = r  ;  log_b A = s  ;  log_b p = t, teremos:

p^r = A  ;  b^s = A  ;  b^t = p

Portanto, das duas primeiras igualdades temos que p^r = b^s

Como b^t = p, podemos dizer que (b^t)^r = b^s , ou seja: b^{t . r} = b^s

Dessa última unicidade, garantida pelas condições de existência (b>0 e b≠1), temos que: t . r = s

Da condição b^t = p e sabendo que pela condição de existência p≠1, temos que t ≠ 0

Portanto, de t . r = s, temos que r = s / t

Concluindo que

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