sexta-feira, 15 de julho de 2011

Logarítmos. Definição, conceitos e propriedades.

Entenda o que é e como surgiu o logarítmo. Aprenda a definição, as propriedades e as condições de existência dos logarítmos. Saiba as diferenças entre logarítmo decimal e logarítmo neperiano.

Logarítmos são os expoentes das potências de base positiva e diferente de 1
by Roberto M.
O que é logarítmo? Como se faz logarítmo de um número? Quais as propriedades dos logarítmos? Prá que serve o logaritmo? O que é co-logarítmo?
Para se entender logaritmo, é necessário revisar o conceito de potenciação
Veja o artigo “Potenciação ou Exponenciação. É fácil quando se entende.” e relembre.
Na realidade, o sistema de logaritmos nada mais é do que um método para simplificar cálculos matemáticos.

Devido aos enormes avanços que houveram nas atividades científicas (astronomia, engenharia, matemática, física, química, medicina), a partir do renascimento, os cientistas encontravam enormes dificuldades quando tinham que enfrentar os cálculos dos estudos quantitativos dessas áreas.

Em 1614, após, pelo menos, 20 anos de estudos, John Napier publicou um método que facilitava muito a tarefa de calcular, uma vez que transformava multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.
Ele associou duas progressões do tipo:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024

E descobriu o seguinte:
Para fazer a multiplicação de 16 por 64, por exemplo, o número 16 da progressão inferior esta relacionado ao número 4 da progressão superior, enquanto o número 64 esta relacionado com o número 6.  Se em vez de efetuarmos a multiplicação de 16 por 64, efetuarmos a soma de seus correspondentes, ou seja 4+6=10,  podemos reparar que o número 10 está relacionado com o número 1024, que é o resultado da multiplicação 16x64.

A explicação é simples:

16 = 24  e  64 = 26
16x64 = 24 x 26
16x64 = 24+6
16x64 = 210

E, como 210 = 1024, segue que 16x64 = 1024


Observe que esse método reduz uma conta de multiplicação a uma conta de adição. Se generalizarmos essa tabela a mais números, e não apenas a algumas potências naturais do número 2, poderíamos usá-la para multiplicar, dividir, elevar e extrair raízes, aplicando algumas propriedades.

Veja:

AZ . AY = AZ + Y  (reduz contas de multiplicação a contas de adição)
AZ / AY = AZ - Y   (reduz contas de divisão a contas de subtração, quando A0)
(Az)y = AZ . Y     (reduz contas de potenciação a contas de multiplicação)
z√A = A1/Z        (reduz contas de radiciação a contas de divisão)

O sucesso desse método (chamado sistema de logaritmos) deveu-se a uma idéia muito simples: a exploração das propriedades das potências.
Pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Definição de logarítmo:


Dado um número b, com b>0 e b≠1, sabemos que existe, para todo número a, com a>0, um único número real x, tal que
bx = a
Nessas condições, chamamos o expoente x de logaritmo de a na base b e escrevemos:
x = logb a

Assim, por exemplo, como na potenciação sabemos que 23 = 8, onde 2 é a base, 3 o expoente e 8 a potência, diremos que  log2 8 = 3, ou seja 3 é o logaritmo de 8 na base 2.

É por isso que podemos entender logaritmos como sendo os expoentes das potencias de base positiva e diferente de 1 (um).

Na expressão logb a = x,
b é a base,
a é o logaritmando, 
x é o logarítmo.

Definição de co-logarítmo:


Chamamos de co-logarítmo de a na base b ao oposto do logaritmo de a na base b, ou seja:

cologb a = - logb a


Condições de Existência de um logaritmo:


Nesse ponto, é importantíssimo atentar para as condições de existência de uma função logarítmica, ou seja, só existem logaritmos de logaritmandos positivos e bases também positivas e diferentes de 1 (um).
Sendo assim, na expressão logb a =x
 
x só existirá se: a>0 e b>0 e b≠1


Logarítmos Decimais:


Logarítmos decimais são os logaritmos de base 10. Eles são muito comuns e bastante usados em cálculos de juros e em estudos de concentrações químicas. Por convenção, não é necessário escrever a base 10. Assim quando encontrarmos alguma coisa como log a, saberemos que se trata do logaritmo de a na base 10.

log a = log10 a


Logarítmos neperianos:


Logarítmos neperianos são os logaritmos de base e. O número e é um número irracional, conhecido como número ou constante de Euler, muito usado em várias situações físicas e químicas, valendo aproximadamente: e=2,718...
Quando um logaritmo possui base e, ele é chamado de logaritmo neperiano, e por convenção  representado por ln. Assim,

ln a = loge a


Propriedades dos logarítmos:

Da definição de logaritmo e sempre atendendo às condições de existência , decorrem as seguintes propriedades:

Propriedade 1
 clip_image002

Propriedade 2
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Propriedade 3
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Propriedade 4
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Propriedade 5
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Propriedade 6 – Logarítmo do Produto
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Propriedade 7 – Logarítmo do Quociente
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Propriedade 8 – Logarítmo da Potência
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Propriedade 9 – Mudança de Base
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Nunca é demais lembrar que devemos sempre tomar cuidado com as condições de existência.
Um logaritmo só existe se o logaritmando for um número positivo e a base for um número positivo diferente de 1 (um).

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Um comentário:

  1. Isso me lembra uma disciplina que fiz de Matemática Elementar com um professor excelente no meu curso de Estatística na UFC =)

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