quinta-feira, 28 de julho de 2011

Justificando e Comprovando as Propriedades dos Logarítmos.

Veja aqui a demonstração das propriedades dos logarítimos através de sua definição. Aprenda a justificar e comprovar todas as propriedades logarítmicas.

Partindo da definição de logarítmo e obsevando todas as suas condições de existência, dá prá justificar e comprovar as suas propriedades
by Roberto M.
No artigo “Logarítmos. Definição, conceitos e propriedades.” demos uma noção geral do que é, como surgiu e prá que serve logarítmo.
No final do artigo, listamos as nove propriedades que comandam todos os cálculos com logaritmos.
Lembrando que para entender logaritmo é necessário ter uma boa noção de potenciação (Veja: Potenciação ou Exponenciação. É fácil quando se entende.), vamos agora, a partir da definição, demonstrar essas propriedades.

Primeiramente relembremos a definição de logaritmo:
Dados dois números a e b, com a > 0 e b > 0 e b ≠ 1  temos que:

Se  logb a = x  então  bx = a

Agora vamos comprovar as propriedades, sempre atendendo às condições de existência:

Propriedade 1:

logb b = 1

Comprova-se diretamente da definição, pois aplicando-a temos:
Se logb b = 1 então b1 = b, o que é a mais pura verdade.

Propriedade 2:

logb 1 = 0

Da definição temos:
Se logb 1= 0 então b0 = 1, verdade absoluta.

Propriedade 3:

logb bc = c

Pela definição:
Se logb bc = c então bc = bc, verdade.

Propriedade 4:

clip_image002

Observe o artifício:
Da definição, se bx = a (1) então x = logb a (2)
Se substituirmos x da igualdade (2), na igualdade (1) resultará  clip_image004

Propriedade 5:

clip_image006 

Usando a definição:
Se considerarmos logb a = x  então bx = a
Logo, como logb a = logb c temos que logb c = x, então bx = c
Se bx = a e bx = c, conclui-se que a = c

Propriedade 6:

clip_image008

Observe o artifício usando-se a definição:
Considerando: logb (A . B) = r  ;  logb A = s  ;  logb B = t, teremos:
br = A . B  ;  bs = A  ;  bt = B
Portanto, br = bs . bt, ou ainda, br = bs+t
Dessa última unicidade, garantida pelas condições de existência (b>0 e b≠1), temos que:
r = s + t, ou seja clip_image010

Propriedade 7:

clip_image012

Demonstração análoga à anterior, considerando:
logb (A / B) = r  ;  logb A = s  ;  logb B = t , teremos:
br = A / B  ;  bs = A  ;  bt = B
Portanto, br = bs / bt, ou ainda, br = bs - t
Dessa última unicidade, garantida pelas condições de existência (b>0 e b≠1), temos que:
r = s – t, ou seja clip_image014

Propriedade 8:

clip_image016

Considerando:
logb Aα = r  e  logb A = s, teremos:
br = Aα  e bs = A
Portanto, br = (bs)α, ou ainda, br = bs . α
Dessa última unicidade, garantida pelas condições de existência (b>0 e b≠1), temos que:
R = s . α, ou seja clip_image018

Note, que essa igualdade, desde que observadas as condições de existência, é verificada para qualquer número real α e não apenas para os números naturais.

Propriedade 9: 

clip_image020

Se considerarmos:
logp A = r  ;  logb A = s  ;  logb p = t, teremos:
pr = A  ;  bs = A  ;  bt = p
Portanto, das duas primeiras igualdades temos que pr = bs
Como bt = p, podemos dizer que (bt)r = bs , ou seja: bt . r = bs
Dessa última unicidade, garantida pelas condições de existência (b>0 e b≠1), temos que: t . r = s
Da condição bt = p e sabendo que pela condição de existência p≠1, temos que t ≠ 0
Portanto, de t . r = s, temos que r = s / t
Concluindo que clip_image022

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2 comentários:

  1. muito bom, só tive que quebrar a cabeça pra entender a propriedade 9, mas muito útil o texto, vai ajudar bastante, parabéns!

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  2. Muito obrigado pelo texto, meu caro. Tinha uma propriedade que eu tava muito curioso para saber a demonstração e foi totalmente esclarecida

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